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一、邏輯回歸的含義
邏輯回歸（Logistic Regression）是一種用于解決分類問題的統計學習方法，尤其適用于二分類任務（如判斷“是/否”）。它通過Sigmoid函數將線性回歸的輸出映射到[0,1]區間，表示樣本屬于某一類的概率。
通俗理解
可以把邏輯回歸想象成一個“概率打分器”：它先像線性回歸一樣計算輸入特征的加權和（比如“年齡+收入”），然后通過一個“S型魔法函數”（Sigmoid）把這個分數壓縮成0到1之間的概率。例如，輸出0.7表示“有70%的可能性是貓，30%的可能性是狗”。
二、二分類問題
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任務示例：圖中列舉了典型的二分類場景，如判斷郵件是否為垃圾郵件（spam）、交易是否欺詐、腫瘤是否惡性。
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輸出（y）：分類結果只能是兩個互斥的值，例如“是/否”（yes/no）、“真/假”（true/false），或用數值“0/1”表示（0=負類，1=正類）。
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類別術語：
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負類（Negative Class）：通常表示“無”或默認狀態（如“非垃圾郵件”）。
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正類（Positive Class）：關注的目標（如“欺詐交易”）。
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這幅圖展示了線性分類（如邏輯回歸）在判斷腫瘤是否惡性的原理：
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橫軸是腫瘤直徑 x，縱軸是預測標簽 y^，0 表示良性（no），1 表示惡性（yes）。
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藍線和綠線表示模型輸出函數 fw,b(x)=wx+b。
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當 fw,b(x)≥0.5 時，預測 y^=1；小于 0.5 時，預測 y^=0。
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圖中藍圈表示實際為良性（0），紅叉為惡性（1）。
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藍色豎線是“決策邊界”（decision boundary），左邊預測為0，右邊為1。
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圖中有些樣本被錯誤分類（例如紅叉落在藍線左邊被預測為良性），屬于“misclassified”。
三、邏輯回歸的Sigmoid函數與分類閾值
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閾值（Threshold）：圖中以“腫瘤是否惡性”為例，設定閾值為?0.7（若預測概率 ≥0.7 則判定為“惡性”（yes/1））。
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輸入特征：腫瘤直徑（x，單位 cm）作為模型的輸入變量。
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Sigmoid 函數：
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核心公式：將任意實數 z 映射到?(0,1)?區間。
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示例輸出：
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z=?100 時，g(z)≈0（接近 0）。
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z=0 時，g(z)=0.5。
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四、邏輯回歸模型
邏輯回歸模型：
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輸入：特征向量?x?和參數?w?、偏置 b。
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線性部分：z=w??x?+b。
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最終輸出：
邏輯回歸輸出
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邏輯回歸輸出解釋：
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模型公式：，輸出表示樣本屬于類別?1?的概率。
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示例：若 fw,b(x?)=0.7，表示有?70%?的概率 y=1y=1（如腫瘤為惡性）。
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概率定義：
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fw,b(x?)=P(y=1∣x;w,b)：給定輸入 x 和參數 w,b，y=1 的條件概率。
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兩類概率之和為 1：P(y=0)+P(y=1)=1。
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