今日格言：如果凡事缺少了實行的勇氣，再有智慧與仁愛也是枉然。

思維導圖

場論初步

場就是空間區域$\Omega$上的一種對應法則。可分為：數量場和向量場。
比如一個數量函數$u=u(x,y,z)$，可以表示一個溫度場，溫度場只講大小，不講方向。
如果$\Omega$上的每一點$M(x,y,z)$都對應一個向量$F$，則在$\Omega$上就確定了一個向量函數
$$F(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$$
它表示一個向量場，比如引力場，引力場既講大小也講方向。

方向導數

定義：設三元函數$u=u(x,y,z)$在點$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某空間鄰域內有定義，$l$為從點$P_0$出發的射線，$P(x,y,z)$為$l$上且在U內的任一點，則：
$$?\begin{array}{ll}x?x_0=\Delta x=t\cos \alpha ,& \\ y?y_0=\Delta y=t\cos \beta ,& \\ z?z_0=\Delta z=t\cos \gamma .& \end{array}$$
則以$t=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}$表示$P與P_0$之間的距離，
若極限：
$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(P)?u(P_0)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \alpha ,z_0+t\cos \alpha )?u(x_0,y_0,z_0)}{t}$$
存在則稱此極限為函數$u(x,y,z)$在點$P_0$沿方向$\mathbf{l}$的方向導數，記作${\frac{?u}{?\mathbf{l}}|}_{P_0}$。
顯然，這是定義式，簡而言之就是函數的增量與這兩點距離的比值。

梯度

散度與旋度