Unity物理系統由淺入深第三節：物理引擎底層原理剖析

Unity物理系統由淺入深第一節：Unity 物理系統基礎與應用
Unity物理系統由淺入深第二節：物理系統高級特性與優化
Unity物理系統由淺入深第三節：物理引擎底層原理剖析
Unity物理系統由淺入深第四節：物理約束求解與穩定性

Unity 物理系統底層使用的是 NVIDIA PhysX 引擎。理解 PhysX 或任何其他實時物理引擎（如 Havok, Bullet）的工作方式，對于一名進階的 Unity 開發者來說，是極其寶貴的知識。本篇我們將從宏觀到微觀，逐步了解物理引擎的核心概念和主要算法。

1. 物理引擎概述：一個模擬真實世界的機器

物理引擎本質上是一個復雜的軟件系統，它接收場景中所有具有物理屬性（剛體、碰撞體等）的物體信息，然后在一個固定時間步（Fixed Timestep）內，迭代計算這些物體在各種力（重力、推力、摩擦力等）和約束（碰撞、關節）作用下的位置、速度和旋轉，從而模擬出真實的物理行為。

一個典型的物理引擎循環（在每個 FixedUpdate 中執行）大致遵循以下步驟：

積分器 (Integrators)： 根據當前的速度和受到的力，預測物體在下一個時間步的位置和速度。
寬相碰撞檢測 (Broad-Phase Collision Detection)： 快速找出場景中所有可能發生碰撞的物體對。
窄相碰撞檢測 (Narrow-Phase Collision Detection)： 對上一步篩選出的可能碰撞對，進行精確的碰撞檢測，計算出詳細的碰撞信息（接觸點、法線、穿透深度等）。
接觸生成 (Contact Generation)： 根據窄相檢測的結果，生成接觸點（Contact Points）和接觸法線（Contact Normals）。
約束求解器 (Constraint Solver)： 處理所有碰撞（以及關節）產生的約束。這是物理引擎最復雜的部分，它通過迭代計算來解決物體之間的相互作用，確保它們不會相互穿透，并且能正確反彈、滑動或連接。
更新狀態： 根據求解器的結果，更新所有剛體的位置和速度。

2. 剛體動力學基礎：物理引擎的語言

在深入算法之前，我們需要回顧一下物理學中的一些基本概念，它們是物理引擎的“語言”。

力 (Force)：改變物體運動狀態的原因。單位牛頓 (N)。
質量 (Mass)：物體慣性的量度。單位千克 (kg)。
慣性 (Inertia)：物體保持其運動狀態的特性。質量越大，慣性越大。
慣性張量 (Inertia Tensor)：描述剛體旋轉慣性的一個 3x3 矩陣。它表示了物體在不同軸上抵抗旋轉的能力。對于非球對稱的物體，其旋轉慣性在不同方向上是不同的。在 Unity 中，對于常見的原始碰撞體，PhysX 會自動計算好。對于 Mesh Collider，可能需要外部工具或手動計算。
線速度 (Linear Velocity)：物體直線運動的速度向量。
角速度 (Angular Velocity)：物體旋轉的速度向量。
動量 (Momentum)：物體的質量與其線速度的乘積。
- $P = m v$
角動量 (Angular Momentum)：描述物體旋轉運動的量。
- $I\omega$ (其中 $I$ 是慣性張量， $ω\omega$ 是角速度)
沖量 (Impulse)：在短時間內施加的巨大力。它直接導致動量的瞬間變化。
- $ΔP=FΔt\Delta P = F \Delta t$ (力乘以時間，或直接視為動量變化量)
扭矩 (Torque)：使物體產生旋轉的力矩。它直接導致角動量的瞬間變化。
- $τ=r×F\tau = r \times F$ (力臂與力的叉乘)

物理引擎通過這些概念來計算和更新物體的運動狀態。例如，當施加一個力時，引擎會根據牛頓第二定律 $F = ma$ 來計算加速度，然后用積分器更新速度和位置。當發生碰撞時，引擎會計算一個沖量，施加到碰撞的物體上，使其反彈或滑動。

3. 積分器（Integrators）：連接現在與未來

積分器是物理引擎的“時間旅行者”，它們負責根據當前的速度和力，預測物體在下一個微小時間步長后的位置和速度。這是物理模擬的核心，因為我們需要連續地更新物體的狀態。

歐拉積分 (Euler Integration)：
- 原理： 最簡單也是最直觀的積分方法。它假設在整個時間步長內，速度或力是恒定的，并直接通過當前的速度和加速度來更新位置和速度。
- 公式：
  - $vnew=vcurrent+a?Δtv_{new} = v_{current} + a \cdot \Delta t$
  - $xnew=xcurrent+vcurrent?Δtx_{new} = x_{current} + v_{current} \cdot \Delta t$
- 優點： 實現簡單，計算速度快。
- 缺點： 精度最低，容易產生累積誤差，導致能量損失或增加（物體可能會越彈越低或越彈越高），特別是在較大的時間步長下，可能導致數值不穩定。
- 示例： 在簡單場景中可以接受，但在需要高精度模擬（如車輛、關節鏈）時則不夠理想。
Verlet 積分 (Verlet Integration)：
- 原理： 一種更穩定且能更好地保持能量的積分方法。它不直接使用速度，而是利用當前位置和上一幀位置來計算新位置。速度是隱式包含的。
- 公式（簡化版）：
  - $xnew=2xcurrent?xprevious+a?Δt2x_{new} = 2x_{current} - x_{previous} + a \cdot \Delta t^2$
- 優點： 能量守恒性好，數值穩定性強，即使在較大時間步長下也不太容易發散。
- 缺點： 無法直接訪問速度，如果需要速度信息（例如用于碰撞響應），需要額外計算。
- 示例： 常用于粒子系統、布料模擬等對穩定性要求高的場景。
龍格-庫塔積分 (Runge-Kutta Integration - RK4)：
- 原理： 一系列更高階的積分方法，通過在時間步長內采樣多個點來計算加權平均值，從而提高精度。RK4 是最常用的一種。
- 優點： 精度高，穩定性好，能夠更準確地模擬復雜的物理系統。
- 缺點： 計算量遠大于歐拉積分，因為需要在每個時間步內進行多次求值。
- 示例： 理論上最接近真實物理的積分方法，但在實時游戲中因性能開銷大而較少直接用于大量剛體，更常見于需要高精度模擬的特定場景或離線物理模擬。

Unity PhysX 采用的積分器： 盡管 PhysX 的具體實現是專有的，但它通常使用經過優化的隱式歐拉積分（Implicit Euler）或類似的半隱式積分。這種方法結合了歐拉的簡潔和一些穩定性優勢，通過在迭代求解器中同時考慮當前和下一幀的狀態來提高穩定性。它并不是單純的顯式歐拉積分。

4. 碰撞檢測（Collision Detection）：尋找接觸點

碰撞檢測是物理引擎最核心、最耗性能的部分之一。它分為兩個階段：寬相檢測和窄相檢測。

4.1. 寬相檢測（Broad-Phase Collision Detection）

目的： 快速排除場景中絕大多數不可能發生碰撞的物體對。這一步不需要精確的計算，只需要找出“可能”碰撞的候選對。
核心思想： 使用粗略的包圍體（Bounding Volume），如 AABB (Axis-Aligned Bounding Box)，來近似表示物體的空間范圍。如果兩個 AABB 不重疊，那么它們內部的物體肯定不碰撞。
常用算法：
- AABB 樹 (AABB Tree)：一種層次化的數據結構。將場景中的所有 AABB 組織成一棵樹。檢測時，只需遍歷樹，如果父節點的 AABB 不重疊，則其子節點也不可能重疊，從而快速排除大量物體。這是 PhysX 廣泛使用的技術。
- SAP (Sweep and Prune / Sort and Sweep)：對所有物體在每個軸上的 AABB 投影進行排序。只有當兩個物體的 AABB 在所有軸上都重疊時，才可能發生碰撞。通過維護排序列表，可以高效地找出重疊對。適用于物體數量不太多且運動方向較固定的場景。
- 網格/格子（Grids/Spatial Hashing）：將空間劃分為規則的網格單元。每個單元存儲其中包含的物體。檢測時只檢查相鄰或同一單元格內的物體。適用于物體均勻分布的場景。

4.2. 窄相檢測（Narrow-Phase Collision Detection）

目的： 對寬相檢測篩選出的“可能”碰撞對，進行精確的幾何測試，判斷它們是否真的發生了碰撞，并計算出詳細的碰撞信息（接觸點、法線、穿透深度等）。
核心思想： 使用更精確的幾何算法來處理復雜形狀。
常用算法：
- GJK (Gilbert-Johnson-Keerthi Distance Algorithm)：
  - 原理： GJK 算法并不是直接找到碰撞點，而是用來判斷兩個凸包（Convex Hull）是否相交。它通過迭代尋找兩個物體之間的最短距離向量。如果這個最短距離為零或指向內，則表示它們相交。
  - 優點： 效率高，適用于任意凸包形狀，是現代物理引擎的核心。
  - 缺點： 只能判斷是否相交，不能直接得到碰撞點和法線。
- EPA (Expanding Polytope Algorithm)：
  - 原理： EPA 通常緊接著 GJK 之后使用。當 GJK 判斷兩個物體相交后，EPA 會從 GJK 找到的“穿透方向”開始，在閔可夫斯基差集（Minkowski Difference）中擴展一個多面體，直到找到最接近原點的那個面。這個面就定義了最小穿透向量（法線和深度）。
  - 優點： 與 GJK 結合，可以準確地計算穿透深度和碰撞法線。
- SAT (Separating Axis Theorem - 分離軸定理)：
  - 原理： 對于兩個凸體，如果它們不相交，那么一定存在一個軸，使得它們在這條軸上的投影互不重疊。反之，如果找不到這樣的分離軸，則它們相交。對于多邊形，需要測試所有邊以及垂直于這些邊的軸。
  - 優點： 簡單易懂，對于多邊形（2D）和多面體（3D）非常有效。
  - 缺點： 對于復雜形狀，需要測試的軸可能很多，效率不如 GJK/EPA 組合。

4.3. 接觸生成 (Contact Generation)

一旦窄相檢測確定了碰撞，下一步就是生成一個或多個接觸點 (Contact Point)。每個接觸點包含了：
- 位置 (Position)：碰撞發生在世界空間中的坐標。
- 法線 (Normal)：指向從一個物體到另一個物體的方向。這決定了碰撞后的反彈方向。
- 深度 (Separation/Penetration Depth)：物體之間相互穿透的距離。這個信息對于約束求解器至關重要，因為它需要將物體推開。
對于復雜的碰撞，可能會生成多個接觸點（例如，一個盒子平躺在地面上）。這些接觸點會被收集起來，傳遞給下一步的約束求解器。