文章目錄
- 定積分計算平面圖形的面積
- 直角坐標系下
- 參數方程下
- 極坐標系下
- 定積分計算旋轉體的體積
- 曲邊梯形繞x軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積
- 曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積
- 平面曲線繞定直線旋轉
- 定積分計算函數的平均值
- 定積分計算平面光滑曲線的弧長
- 曲線L繞x軸旋轉一周所得旋轉曲面的側面積
- 形心坐標公式（幾乎沒考過）
今日開篇：應該有更好的方式開始新的一天，而不是千篇一律地在每個上午醒來。
定積分計算平面圖形的面積
直角坐標系下
用矩形的面積，近似代替曲邊梯形的面積。
參數方程下
很少見，目前沒有見到過，但是一般都采用換元法。
極坐標系下
用三角形面積近似代替扇形的面積，然后求扇形面積之差就是曲邊扇形的面積。
- 求曲線y=e?xsinxy=e^{-x}sinxy=e?xsinx(x≥0)與x軸所圍平面圖形的面積。
定積分計算旋轉體的體積
曲邊梯形繞x軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積
微元法，將其看作是小圓柱體的“積分”。
曲邊梯形繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體的體積
柱殼法，將其看成是圓柱殼的“積分”。
將圓柱殼沿著任何一條豎線剪開，可展開為一個“長方體”，其體積為dVy=2πx∣y(x)∣dxdV_y=2πx|y(x)|dxdVy?=2πx∣y(x)∣dx
所以旋轉體的體積為：Vy=2π∫abx∣y(x)∣dxV_y=2π\int_a^bx|y(x)|dxVy?=2π∫ab?x∣y(x)∣dx
平面曲線繞定直線旋轉
設平面曲線L:y=f(x),a≤x≤bL:y=f(x),a≤x≤bL:y=f(x),a≤x≤b，且f(x)可導。
定直線L0:Ax+By+C=0，且過L0L_0:Ax+By+C=0，且過L_0L0?:Ax+By+C=0，且過L0?的任一條垂線與L至多有一個交點，如下圖所示，則L繞L0L_0L0?旋轉一周所得旋轉體的體積為：
遇到問題了怎么辦？一言以蔽之，就是套這個公式。
定積分計算函數的平均值
一共有兩種方法，第一種方法是正常思路，但需利用題目中給出的等式條件；第二種方法比較難想到，利用等式構造變限積分。
第二種可能需要受到周期函數的啟發。
定積分計算平面光滑曲線的弧長
一共可以分為以下三種情況：
- 直角坐標系下
也可以對y積分，相當于換元：∫cd1+(dxdy)2dy\int_c^d\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy∫cd?1+(dydx?)2?dy，這里的積分區間是[a,b]對應的區間。 - 參數方程后
- 極坐標方程
本質上還是微元法和換元。
曲線L繞x軸旋轉一周所得旋轉曲面的側面積
和上面的弧長一樣，也是分為平面直角坐標系、參數方程、極坐標系。
還是微元法dA=2π|y|ds，這里的ds是指對應一段曲線的弧長。
- 直角坐標系
- 參數方程
- 極坐標系
形心坐標公式（幾乎沒考過）
-一個簡單web項目-服務搭建)
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