用 MATLAB 模擬傳染病傳播：從 SI 模型到 SIS 模型的可視化之旅

在公共衛生研究中，數學模型是理解傳染病傳播規律的重要工具。通過數值模擬，我們能直觀看到 “易感人群” 和 “感染人群” 隨時間的變化趨勢，甚至能預測疫情發展的關鍵節點。今天就帶大家用 MATLAB 實現兩個經典的傳染病模型 ——SI 模型和SIS 模型，一步步拆解代碼邏輯，還會教你如何替換自己的數據，讓模型更貼合你的研究場景哦～ 🌟

一、為什么要做傳染病模型模擬？ 🤔

想象一下：當一種新的傳染病出現時，衛生部門需要快速判斷 “多久會出現感染高峰？”“最終會有多少人被感染？” 這些問題光靠經驗很難回答，但數學模型能幫我們 “預演” 不同場景下的傳播過程。

今天要實現的兩個模型，雖然簡單卻蘊含著傳播的核心邏輯：

SI 模型：假設感染后不會康復，只會在易感人群中持續擴散（比如某些終身攜帶的病毒）；

SIS 模型：感染后會康復，且康復者會重新成為易感人群（比如流感這類可重復感染的疾病）。

通過可視化這兩個模型的結果，我們能清晰看到 “康復” 這個變量對傳播趨勢的巨大影響～

二、模型原理：從公式到邏輯 📝

在寫代碼前，先讓我們看懂兩個模型的數學表達式 —— 這是理解模擬邏輯的關鍵哦！

1. SI 模型：“一旦感染，終身攜帶”

SI 模型里有兩個核心人群：

S(t)：t 時刻的易感人群（可能被感染的人）；

I(t)：t 時刻的感染人群（已感染且具有傳染性的人）。

總人數 N = S (t) + I (t)（因為沒有康復，所以總人數不變）。

模型的微分方程如下：

\( \begin{cases} \dfrac{dS}{dt} = -\beta \dfrac{S \times I}{N} \\ \dfrac{dI}{dt} = \beta \dfrac{S \times I}{N} \end{cases} \)

公式解讀：

\( \beta \) 是傳染率（比如 β=0.2 表示每個感染者每天平均會讓 20% 的易感者被感染）；

\( \frac{S \times I}{N} \) 代表 “易感者與感染者的接觸概率”（總人數 N 固定時，接觸次數和兩者數量的乘積成正比）；

因此，易感人群的減少量 \( \frac{dS}{dt} \) 等于感染人群的增加量 \( \frac{dI}{dt} \)，符合 “無康復” 的設定～

2. SIS 模型：“康復后仍可能再感染”

SIS 模型在 SI 模型的基礎上增加了 “康復” 環節：感染人群會以一定概率康復，且康復后重新成為易感者（所以叫 SIS，Susceptible-Infected-Susceptible）。

新增參數 \( \gamma \) 代表康復率（比如 γ=0.25 表示每天有 25% 的感染者會康復）。

模型的微分方程如下：

\( \begin{cases} \dfrac{dS}{dt} = -\beta \dfrac{SI}{N} + \gamma I \\ \dfrac{dI}{dt} = \beta \dfrac{SI}{N} - \gamma I \end{cases} \)

公式解讀：

感染人群的變化（dI/dt）由兩部分組成：新增感染（\( \beta SI/N \)）和康復減少（\( -\gamma I \)）；

易感人群的變化（dS/dt）也對應兩部分：因感染減少（\( -\beta SI/N \)）和因康復增加（\( +\gamma I \)）；

這個模型更貼近現實中 “可重復感染” 的疾病（比如普通感冒、流感），感染高峰會因康復而回落～

三、MATLAB 代碼實現：從公式到可視化 💻

接下來我們用 MATLAB 的ode45函數（常微分方程求解器）來模擬這兩個模型。ode45能幫我們求解微分方程組的數值解，再結合plot函數就能畫出人群變化曲線啦～

1. SI 模型代碼解析

先看第一段代碼 —— 沒有康復率的 SI 模型：


% 模型參數N = 1000000; % 總人數I0 = 10; % 初始感染人數S0 = N - I0; % 初始易感人數beta = 0.2; % 傳染率num_days = 160; % 模擬天數% x(1):感染人群I， x(2):易感人群Sdxdt = @(t, x) [beta * x(1) * x(2) / N; % dIdt-beta * x(1) * x(2) / N % dSdt];[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0]);hold onplot(t, y(:, 1));plot(t, y(:, 2));legend('感染人數I', '易感人數S');

關鍵參數說明（這些都能自定義哦！）：

N：總人數（比如模擬一個城市的人口，可替換為 500000、10000 等）；

I0：初始感染人數（疫情剛開始時的病例數，可替換為 5、20 等）；

S0：初始易感人數（總人數減去初始感染人數，會隨N和I0自動變化，也可手動修改）；

beta：傳染率（值越大傳播越快，可替換為 0.1、0.3 等）；

num_days：模擬天數（想觀察 1 年就設為 365，想觀察 1 個月就設為 30）。

微分方程定義：

dxdt是一個匿名函數，用來定義微分方程組：

第一行beta * x(1) * x(2) / N對應dI/dt（感染人數的變化率），和 SI 模型公式完全一致；

第二行-beta * x(1) * x(2) / N對應dS/dt（易感人數的變化率），負號表示易感者因感染而減少。

求解與繪圖：

[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0])：ode45會在 1 到num_days天內求解方程組，初始值是[I0, S0]（初始感染和易感人數）；

y(:, 1)是每天的感染人數（I），y(:, 2)是每天的易感人數（S）；

plot函數畫出兩條曲線，legend添加標簽，方便區分～

2. SIS 模型代碼解析

再看第二段代碼 —— 加入康復率的 SIS 模型：


% 模型參數N = 1000000; % 總人數I0 = 10; % 初始感染人數S0 = N - I0; % 初始易感人數beta = 0.2; % 傳染率gamma = 0.05; % 康復率num_days = 160; % 模擬天數% x(1):感染人群I， x(2):易感人群Sdxdt = @(t, x) [beta * x(1) * x(2) / N - gamma * x(1); %dIdt-beta * x(1) * x(2) / N + gamma * x(1) %dSdt];[t, y] = ode45(dxdt, 1: num_days, [I0, S0]);hold onplot(t, y(:, 1));plot(t, y(:, 2));legend('感染人數I', '易感人數S');

新增參數（可自定義！）：

gamma：康復率（值越大表示康復越快，可替換為 0.1、0.5 等）。比如 gamma=0.5 意味著每天有 50% 的感染者會康復～

微分方程變化：

和 SI 模型相比，dxdt的定義多了gamma相關項：

感染人數變化（dI/dt）：beta * x(1)*x(2)/N - gamma * x(1)（新增感染減去康復減少，對應 SIS 模型公式）；

易感人數變化（dS/dt）：-beta * x(1)*x(2)/N + gamma * x(1)（感染減少加上康復增加，和公式一致）。

四、模擬結果分析：曲線背后的傳播規律 🔍

運行兩段代碼后，我們會得到兩條截然不同的曲線 —— 這就是模型參數對傳播趨勢的影響，超直觀！

1. SI 模型的曲線特征

在 SI 模型中（無康復）：

感染人數（I）會從初始的 10 人開始，隨著時間快速增長（因為沒有康復，每個感染者都在持續傳染易感者）；

易感人數（S）會不斷減少，直到幾乎所有易感者都被感染（因為總人數固定，I+S=N）；

曲線趨勢：I 呈 “J 型增長”，S 呈 “反向 J 型下降”，最終 I≈N，S≈0（除非初始易感者耗盡）。

這很像 “一旦感染終身攜帶” 的疾病（比如某些病毒攜帶者），只要有易感者存在，感染就會持續擴散～ 😮

2. SIS 模型的曲線特征

在 SIS 模型中（有康復）：

感染人數（I）會先快速上升（新增感染 > 康復），達到一個 “感染高峰”；

隨著易感人數減少、康復人數增加，感染人數會逐漸下降，最終可能穩定在一個平衡值（I 不再變化）；

易感人數（S）會先減少后回升，最終和 I 形成動態平衡（因為康復者會回到易感人群）。

這更貼近現實中 “可康復且重復感染” 的場景：比如流感，冬天感染人數上升，春天因康復和抵抗力增強而下降，但來年可能再次流行～ 🌦?

3. 關鍵差異對比

模型	感染人數趨勢	易感人數趨勢	核心原因
SI 模型	持續增長至 N	持續下降至 0	無康復，感染不可逆
SIS 模型	先增后減至平衡值	先減后增至平衡值	康復者回歸易感人群

五、自定義數據指南：讓模型更貼近你的研究 🧪

想模擬自己關注的場景？只需修改幾個參數就行！以下是 “可替換數據” 的詳細指南，新手也能輕松上手～

1. 必改參數清單

參數名	含義	推薦修改范圍	修改后影響示例
N	總人數	1000～10^7（根據場景）	N=10000（模擬一個小鎮），傳播速度會更快
I0	初始感染人數	1～100	I0=1（零號病人），初期增長會更慢
beta	傳染率	0.01～1（越小越慢）	beta=0.1（低傳染），感染高峰會推遲
gamma	康復率（僅 SIS 模型）	0.05～1（越大康復越快）	gamma=0.5（高康復），感染高峰會降低
num_days	模擬天數	30～365	num_days=365（模擬一年），看長期趨勢