數學模型：十大距離

十大距離

文章目錄

十大距離
- 定義
- - 1. 歐氏距離（Euclidean Distance）
  - 2. 曼哈頓距離（Manhattan Distance）
  - 3. 切比雪夫距離（Chebyshev Distance）
  - 4. 閔可夫斯基距離（Minkowski Distance）
  - 5. 標準化歐氏距離（Standardized Euclidean Distance）
  - 6. 馬氏距離（Mahalanobis Distance）
  - 7. 余弦距離（Cosine Distance）
  - 8. 漢明距離（Hamming Distance）
  - 9. 杰卡德距離（Jaccard Distance）
  - 10. 相關距離（Correlation Distance）
- 應用范圍
- - 歐氏距離
  - 曼哈頓距離
  - 切比雪夫距離
  - 閔可夫斯基距離
  - 標準化歐氏距離
  - 馬氏距離
  - 余弦距離
  - 漢明距離
  - 杰卡德距離
  - 相關距離

定義

1. 歐氏距離（Euclidean Distance）

歐氏距離是最常用的距離度量方法之一，它衡量的是多維空間中兩點之間的直線距離。

原理：對于二維平面上的兩點 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，歐氏距離定義為：

$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

2. 曼哈頓距離（Manhattan Distance）

曼哈頓距離也稱為城市街區距離，它計算的是沿坐標軸方向的距離總和。

原理：對于二維平面上兩點 $a = (x_1, y_1)$ 、 $b = (x_2, y_2)$ ，曼哈頓距離通常定義為
$d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$

3. 切比雪夫距離（Chebyshev Distance）

切比雪夫距離也稱為棋盤距離，它衡量的是兩點之間的最大坐標差。

原理：對于二維平面上的兩點 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，切比雪夫距離定義為：
$d = \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$

4. 閔可夫斯基距離（Minkowski Distance）

閔可夫斯基距離是歐氏距離、曼哈頓距離和切比雪夫距離的一般化形式。

原理：對于二維平面上的兩點 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，閔可夫斯基距離定義為：
$(|x_1 - x_2|^p + |y_1 - y_2|^p)^{\frac{1}{p}}$

其中 $p$ 是參數，當 $p = 1$ 時，它等同于曼哈頓距離；當 $p = 2$ 時，它等同于歐氏距離；當 $\to \infty$ 時，它等同于切比雪夫距離。

5. 標準化歐氏距離（Standardized Euclidean Distance）

標準化歐氏距離考慮了各個特征的尺度差異，通過標準差進行歸一化。

原理：對于二維平面上的兩點 $a = (x_1, y_1)$ 和 $b = (x_2, y_2)$ ，標準化歐氏距離定義為：
$\sqrt{\frac{(x_1 - x_2)^2}{s_x^2} + \frac{(y_1 - y_2)^2}{s_y^2}}$

其中 $s_x$ 和 $s_y$ 分別是 $x$ 和 $y$ 維度的標準差。

6. 馬氏距離（Mahalanobis Distance）

馬氏距離考慮了特征之間的相關性，是標準化歐氏距離的進一步推廣。

原理：對于二維向量 $a\mathbf{a}$ 和 $b\mathbf{b}$ ，馬氏距離定義為：
$\sqrt{(\mathbf{a} - \mathbf{b})^T \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{a} - \mathbf{b})}$
其中 $S\mathbf{S}$ 是樣本協方差矩陣。

7. 余弦距離（Cosine Distance）

余弦距離衡量的是兩個向量之間的夾角，常用于文本分析和推薦系統。

原理：對于兩個向量 $a\mathbf{a}$ 和 $b\mathbf{b}$ ，余弦相似度定義為：
$cos?(θ)=a?b∥a∥∥b∥\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$
余弦距離則定義為：
$\cos(\theta)$

8. 漢明距離（Hamming Distance）

漢明距離用于衡量兩個等長字符串之間對應位置的不同字符的個數，雖然它通常用于字符串，但我們可以用二維平面上的二進制網格來可視化它。

原理：對于兩個等長字符串（或二進制向量） $a\mathbf{a}$ 和 ( \mathbf{b} )，漢明距離定義為：
$\sum_{i=1}^{n} [a_i \neq b_i]$
其中 $[ai≠bi][a_i \neq b_i]$ 是指示函數，當 $ai≠bia_i \neq b_i$ 時為 1，否則為 0 。

9. 杰卡德距離（Jaccard Distance）

杰卡德距離用于衡量兩個集合的相似度。

原理：對于兩個集合 $A$ 和 $B$ ，杰卡德相似系數定義為：
$\frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$
杰卡德距離則定義為：
$d = 1 ? J (A, B)$

10. 相關距離（Correlation Distance）

相關距離基于皮爾遜相關系數，用于衡量兩個變量之間的線性關系。

原理：對于兩個變量 $X$ 和 $Y$ ，皮爾遜相關系數定義為：
$ρ=Cov(X,Y)σXσY\rho = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

相關距離則定義為：
$|\rho|$

應用范圍

歐氏距離

數據挖掘與機器學習：在聚類算法（如K-Means聚類）中，用于衡量樣本點之間的相似性，以確定樣本的歸屬類別。
計算機圖形學：計算圖形中頂點之間的距離，判斷圖形的形狀和位置關系，例如在三維模型的變形和對齊操作中。
地理信息系統（GIS）：計算地圖上兩點之間的實際距離，輔助路徑規劃、位置分析等。

曼哈頓距離

城市規劃與交通領域：模擬城市街區中兩點之間的實際通行距離，在路徑規劃、物流配送路線計算等方面有應用，例如計算快遞員在城市街區中的送貨路線長度。
網格系統與棋盤游戲：在一些基于網格的游戲（如國際象棋等）中，衡量棋子移動的步數距離，或者在二維網格地圖中計算兩點間的最短移動距離。

切比雪夫距離

棋盤類游戲算法：在國際象棋、圍棋等棋盤游戲的AI算法中，用于評估棋子之間的威脅程度或距離，例如判斷一個棋子在多步內能夠到達的范圍。
圖像處理與計算機視覺：在圖像中判斷像素點之間的最大位移距離，用于圖像分割、目標跟蹤等場景。

閔可夫斯基距離

數據的泛化距離度量：作為歐氏距離、曼哈頓距離等的一般化形式，可根據不同的參數 ( p ) 靈活調整距離度量方式，適用于多種需要自定義距離度量的場景，如在不同特征分布的數據集中尋找合適的距離度量方式。
機器學習模型評估：在評估模型預測結果與真實值之間的差異時，通過調整 ( p ) 值來關注不同類型的誤差，例如 ( p = 1 ) 時更關注絕對誤差，( p = 2 ) 時更關注平方誤差。

標準化歐氏距離

多特征數據的距離度量：當數據集中不同特征的尺度差異較大時，如在分析身高（厘米級）和體重（千克級）對個體分類的影響時，標準化歐氏距離能夠消除特征尺度的影響，準確衡量樣本之間的相似性。
模式識別與分類：在手寫數字識別、圖像分類等模式識別任務中，對不同維度特征進行標準化后再計算距離，提高分類的準確性。