前言

• 最近剛學二元一次方程，想寫一篇專欄熟悉一下
• 本文寫給初一的同學看，學過的就劃了吧

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二元一次方程

1. 兩個未知數
2. 最高項次數為 $1$ 次
3. 為整式方程
4. 二元一次方程的解不唯一，但是二元一次方程可以用一個未知數來表達另一個未知數

$eg:$
$x+y=1$ $—>$ 用 $x$ 表示 $y$ : $y=1?x$
$2x+3y=2$ $—>$ 用 $y$ 表示 $x$ : $x=\frac{2?3y}{2}=1?\frac{3}{2}y$

二元一次方程組

• 由兩個二元一次方程組成
  $eg:$
  $$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x?2y=3\end{array}$$
• 當 $n$ 元 $1$ 次方程只有 $n?1$ 等量關系， $n$ 元不被唯一確定，但是可以用一個未知數表達其他未知數

二元一次方程組的解法

1. 代入消元法
   $eg:$
   $$\{\begin{array}{l}2x+3y=45\\ 3x?2y=15\end{array}$$
   $$令：2x+3y=45為①，3x?2y=15為②，由①得：y=15?\frac{2}{3}x\dots \dots ③，將③帶入①得：$$

$$\begin{array}{r}3x?2(15?\frac{2}{3}x)=15\\ 3x?30+\frac{4}{3}=15\\ \frac{13}{3}=45\\ x=\frac{135}{13}\end{array}$$
$x=\frac{135}{13}帶入③得：$
$$\begin{array}{r}y=15?\frac{2}{3}\times \frac{135}{13}=\frac{105}{13}\end{array}$$
2. 加減消元法
$eg:$
$$\{\begin{array}{l}3(x+y)?4(x?y)=4\\ \frac{x+y}{2}+\frac{x?y}{6}=1\end{array}$$
$令：3(x+y)?4(x?y)=4為①，\frac{x+y}{2}+\frac{x?y}{6}=1為②$

$將①\times 3得：6x+9y=135\dots \dots ③將②\times 2得：6x?4y=30$
$③?④得：$
$$\begin{array}{r}13y=105\\ y=\frac{105}{13}\end{array}$$
$將①\times 2得：4x+6y=90\dots \dots ⑤$
$將②\times 3得：9x?6y=45\dots \dots ⑥$
$⑤+⑥：$
$$\begin{array}{r}13x=135\\ x=\frac{135}{13}\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\therefore \{\begin{array}{l}x=\frac{135}{13}\\ y=\frac{105}{13}\end{array}\end{array}$$
發現了嗎？兩個方程解一樣

含參二元一次方程

大概長這樣：
$$\begin{array}{r}關于x,y得二元一次方程組：\\ \{\begin{array}{l}ax+by=c\\ mx+ny=p\end{array}\end{array}$$
$其實只要把參數(上面的a,b,m,n)當成已知數來解就OK了$

二元一次不定方程

• $不定方程:$$ax+by=c(關于x,y的方程)，研究這個多元方程的整數解問題$
  $eg:$
  $$\begin{array}{r}{x}^n+y^n=z^n,當n\ge 3時，x^n+y^n=z^n不存在整數解(費馬大定理)\end{array}$$
  $x^3+y^3=z^3不存在整數解$

• $二元一次不定方程:$
  $eg:$
  $解法1. $
  $$\begin{array}{r}2x+5y=17\\ 5y=17?2k\\ y=\frac{17?2x}{5}\\ 設17?2x=5k\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{17?5k}{2}\\ y=k\end{array}(k為整數)\end{array}$$
  $然后帶入k求出即可$
  $解法2. $
  $前提：a,b互質$
  $$\begin{array}{r}2x+5y=17\\ \{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}是該方程的一組特殊姐(其實就是湊個解)\end{array}$$

  $$\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=3?2t\end{array}t為整數$$
  $然后帶入t，若t為11\dots \dots ；若t為?7\dots \dots$

尾聲

• $二元一次方程也差不多說完了，這是本人第一篇要全站推送的專欄(前面一篇題解被打回了，再交時關通道了QAQ)，求管理員高抬貴手，眾看客多多關照！$

謝謝觀看！