2025認證杯數學建模第二階段思路+模型+代碼，詳細內容見文末名片

一、引言

在當今數字化時代，社交網絡已然成為人們生活中不可或缺的一部分。信息在社交網絡上的傳播速度猶如閃電，瞬間就能觸及大量用戶。然而，這也為謠言的滋生和擴散提供了溫床。2025 年 “認證杯” 數學中國數學建模網絡挑戰賽第二階段 B 題，就聚焦于這一現實問題，探討如何有效遏制謠言在社交網絡上的傳播，為社交網絡平臺提供科學的應對策略。

二、問題重述

2.1 問題背景

隨著互聯網的飛速發展，社交網絡發生了翻天覆地的變革。想象一下，當一位用戶在平臺上發布一條信息，他的粉絲們看到后，可能會毫不猶豫地轉發，或者經過自己的編輯后再次發布出去。這種傳播方式大大提高了信息的擴散速度，但同時也埋下了隱患——虛假信息，也就是我們所說的謠言，可能會像病毒一樣迅速蔓延。

社交網絡平臺自然不希望看到謠言肆意傳播，影響用戶體驗和平臺聲譽。于是，他們想出了一些辦法，比如暫時封禁某些傳播謠言的用戶，或者在合適的位置插入澄清信息，以正視聽。但平臺也有自己的顧慮，為了不打擾其他正常用戶的使用，封禁的用戶數量不能太多，直接發布的澄清信息數量也得有所限制。那么，平臺該如何巧妙地采取措施，才能把謠言的負面影響降到最低呢？這就是我們要解決的核心問題。

2.2 表格數據

幸運的是，在這個問題中，我們無需處理復雜的表格數據，這讓我們可以更專注于問題本身的分析和建模。

2.3 提取的各項問題

1. 第一階段問題 1：假設平臺就像擁有一雙 “透視眼”，清楚地知道所有用戶之間的關注關系，同時也能精準探測到謠言當前的傳播情況。此時，平臺決定只采用投放澄清信息這一招。具體做法是，先精心挑選出有限的 ( m ) 個用戶，然后在后臺設置，讓這 ( m ) 個用戶在轉發謠言信息時，自動附帶澄清信息。現在的任務是，建立一個合理的數學模型，幫助平臺找到最有效的選擇這 ( m ) 個用戶的方法，就像在迷宮中找到最能阻止謠言擴散的關鍵節點一樣。
2. 第一階段問題 2：同樣，平臺對用戶關注關系和謠言傳播現狀了如指掌，且依舊只依靠投放澄清信息來應對。不過這次，澄清信息是獨立于謠言信息發布的。平臺會挑選若干用戶，不管這些用戶有沒有轉發過謠言，都邀請他們直接發布澄清信息。但這些用戶有自己的選擇權，他們可以同意，也可以拒絕。最終，平臺要找到不超過 ( m ) 個用戶來發布澄清信息。我們需要建立數學模型，設計出在這種投放策略下選擇用戶的最佳方案，目標還是讓謠言的影響最小化，這就好比在眾多不確定因素中，找到最能發揮作用的 “奇兵”。
3. 第二階段問題 1：在第一階段的兩個問題中，平臺分別采用了兩種不同的方式投放澄清信息。現在我們要像裁判一樣，評估一下在 ( m ) 相同的情況下，這兩種方式的效果到底有什么不同，哪種方式更勝一籌呢？如果在建立模型的過程中涉及到其他參數，我們還得想辦法說明這些參數該如何獲取或估計，就像為模型找到合適的 “燃料”，讓它能準確運行。
4. 第二階段問題 2：在第一階段問題 2 的基礎上，情況變得有些棘手了。假設平臺突然 “失明”，不知道用戶之間的關注關系了，只能看到謠言當前的傳播情況。這時候，我們要設計出一套選擇用戶的策略，就像在迷霧中摸索，找到那條能有效遏制謠言的道路。
5. 第二階段問題 3：在真實的社交網絡世界里，謠言的傳播和用戶之間的關注關系可不是一成不變的，它們就像流動的水一樣，時刻都在動態變化。現在假設平臺不僅能投放澄清信息，還可以采取暫時封禁用戶的方式來干預謠言傳播，最多能封禁 ( n ) 個用戶，封禁時長最長為 ( t ) 。所謂封禁，就像是給這個用戶戴上了一個 “隱身帽”，在封禁期間，其他用戶看不到他的信息，也不能轉發他的內容，更不能新增對他的關注，但已經轉發出去的內容不受影響。而且，平臺能夠實時獲取用戶之間的關注關系和謠言的傳播現狀。在這種復雜的情況下，我們要建立數學模型，給出一個合理的選擇用戶（包括封禁哪些用戶以及在哪些用戶處投放澄清信息）的方案，這就像是指揮一場復雜的戰役，要合理調配各種資源。
6. 第二階段問題 4：這是在第二階段問題 3 的基礎上，又增加了一些難度。現在平臺無法實時獲取用戶之間的關注關系了，不過還能實時知道謠言的傳播現狀。我們依舊要建立數學模型，給出一個合理的選擇用戶（包括封禁和投放澄清信息）的方案，就像在信息不完整的戰場上，制定出有效的作戰計劃。

三、問題分析

3.1 解釋數據作用和意義

在解決這些問題的過程中，數據就像是我們手中的 “魔法棒”，起著至關重要的作用。

1. 用戶關注關系數據：它就像一張詳細的地圖，能幫助我們構建圖論模型，清晰地展現社交網絡的結構。比如說，在第一階段的問題 1 和 2 中，我們可以用有向圖 ( G=(V, E) ) 來描繪這個網絡，其中 ( V ) 代表用戶節點集合，就像地圖上的一個個城市； ( E ) 是邊的集合，邊 ( (u, v) ) 表示用戶 ( u ) 關注用戶 ( v ) ，這就好比城市之間的道路，連接著各個用戶。通過這張 “地圖”，我們就能分析謠言可能的傳播路徑，找到那些關鍵的 “路口”，也就是可以進行干預的節點。
2. 謠言當前傳播情況數據：這就像是疫情的實時監測數據，如感染節點（傳播謠言的用戶）及其感染時間戳 ( t_v ) ，對于我們推斷傳播路徑和識別關鍵用戶非常關鍵。在第二階段問題 2 中，當平臺失去了用戶關注關系這張 “地圖” 時，這些數據就成了我們的 “指南針”。我們可以根據感染時間戳反向構建可能的傳播樹，就像從疫情的傳播軌跡中追溯源頭一樣，進而找到合適的用戶發布澄清信息，阻止謠言繼續擴散。
3. 用戶轉發行為數據：它可以幫助我們估計信息傳播概率 ( p_{uv} ) 。想象一下，在獨立級聯模型（IC）中，每條邊的傳播概率 ( p_{uv} ) 就像是道路上的通行概率，決定了謠言從用戶 ( u ) 傳播到用戶 ( v ) 的可能性。通過分析歷史轉發數據，我們就能更準確地估計這個概率，讓我們構建的傳播模型更貼合實際情況，就像給模型穿上了一件合身的 “衣服”。
4. 用戶同意發布澄清信息的概率 ( p_i ) 數據：在第一階段問題 2 中，它可是個關鍵角色。它反映了用戶的自主性，就像每個人對不同請求的接受程度不同一樣。平臺在選擇用戶發布澄清信息時，必須要考慮這個概率，才能最大化期望阻斷效果。我們可以通過 A/B 測試，就像做一個小實驗，向隨機用戶發送澄清請求，統計同意率來估計這個概率，為模型提供準確的參數。
5. 數據處理方法：
   • 數據清洗：就像整理房間一樣，我們要對收集到的數據進行清洗，把那些重復、錯誤或不完整的數據清理出去。比如在處理用戶關注關系數據時，可能會發現一些無效的關注記錄，就像地圖上標錯的道路，我們要把它們剔除，這樣才能保證圖論模型的準確性，讓我們的 “地圖” 更加精準。
   • 數據轉換：原始數據可能就像一堆雜亂的零件，我們需要把它們轉換為適合模型使用的格式。例如，將用戶的轉發行為數據轉換為傳播概率 ( p_{uv} ) ，可以通過計算在一定時間內用戶 ( u ) 發布的信息被用戶 ( v ) 轉發的頻率來實現，就像把零件組裝成有用的工具，讓模型能夠順利運行。
   • 數據抽樣：當數據量非常龐大時，就像面對一片浩瀚的海洋，我們可以采用數據抽樣的方法，選取一部分有代表性的數據進行分析。比如在估計用戶拒絕概率 ( p_i ) 時，從大量用戶中隨機抽取一部分進行 A/B 測試，就像從海洋中取一杯水來分析，既能減少計算量和時間成本，又能保證一定的準確性。

3.2 前后問題的整體邏輯

1. 第一階段問題 1 和問題 2：它們就像是大廈的基石，構建了靜態場景下單一干預手段（澄清信息投放）的優化模型。問題 1 考慮的是強制附帶澄清信息的方式，問題 2 則更貼近現實，考慮了用戶可能拒絕發布澄清信息的情況。這兩個問題為后續問題提供了澄清信息投放的基本思路和對比對象，就像為我們的探索之旅指明了最初的方向。
2. 第二階段問題 1：基于第一階段的兩種投放方式，我們要在這里進行一場 “效果大比拼”。通過量化兩種方式的效果差異，為平臺選擇合適的澄清信息投放方式提供依據。這就像是在兩種工具中挑選出最適合的那一個，其結果會直接影響后續策略的選擇，是我們決策的重要參考。
3. 第二階段問題 2：這是對第一階段問題 2 的一次 “升級挑戰”，在信息不完全的情況下，我們要依靠第一階段問題 2 的基本框架，通過推斷傳播路徑和識別關鍵用戶來選擇發布澄清信息的用戶。就像在缺少部分線索的情況下解開謎題，需要我們運用更巧妙的方法。
4. 第二階段問題 3：它引入了動態場景和多手段協同的概念，就像給問題注入了新的活力，讓它變得更加復雜和真實。在實時獲取信息的情況下，我們要聯合使用封禁用戶和投放澄清信息兩種手段，優化組合策略。這就像是指揮一場多兵種協同作戰的戰役，需要綜合考慮各種因素，其策略的制定離不開前面問題的結果作為基礎。
5. 第二階段問題 4：在第二階段問題 3 的基礎上，又增加了信息不完全的困難。我們要依賴第二階段問題 3 的部分思路和傳播動態數據，通過基于傳播動態數據和歷史傳播模式，設計合理的選擇用戶方案，實現聯合干預。這就像是在迷霧重重的戰場上，憑借有限的信息制定出有效的作戰計劃，考驗著我們的應變能力和智慧。

3.3 問題一分析

1. 問題起源與發展：社交網絡的蓬勃發展，讓信息傳播變得暢通無阻，但也讓謠言有了可乘之機。平臺在清楚了解用戶關注關系和謠言傳播現狀的情況下，希望通過投放澄清信息來給謠言 “踩剎車”。這種強制附帶澄清信息的方式，就像是在謠言傳播的道路上設置了一些 “路障”，是一種較為直接的干預手段。它為后續問題提供了基礎的澄清信息投放思路，是整個問題體系中單一手段靜態優化的一種情況，就像搭建高樓時的第一層框架。
2. 解答思路：
   • 影響因素：要想讓這 ( m ) 個用戶發揮最大作用，關鍵是他們能最大程度地阻斷謠言傳播路徑。這就好比在一個復雜的交通網絡中，找到那些能攔住最多車輛通行的路口。用戶的影響力、所處的網絡位置等都會影響其阻斷傳播路徑的能力。比如，那些粉絲眾多、處于網絡中心位置的用戶，可能就像交通樞紐一樣，一旦設置了 “路障”，就能攔住更多的謠言傳播 “車輛”。
   • 理論基礎：圖論中的有向圖就像我們的 “交通地圖”，可以準確表示用戶關注關系；傳播動力學中的獨立級聯模型（IC）則像是描述車輛行駛規則的手冊，用來描述謠言傳播過程。IC 模型假設每條邊有傳播概率 ( p_{uv} ) ，當一個節點被激活（傳播謠言）時，它就像一輛啟動的車，有 ( p_{uv} ) 的概率激活其鄰居節點，也就是讓謠言傳播到下一個用戶。
   • 核心變量：核心變量是選擇的節點集 ( S ) ，我們的目標是讓 ( |S| = m ) ，并且最小化謠言傳播范圍 ( \sigma(S) ) ，也就是被 ( S ) 阻斷的傳播路徑數。這就像是在眾多路口中挑選出 ( m ) 個，讓它們攔住盡可能多的謠言傳播路線。
   • 約束條件：平臺只能使用投放澄清信息這一種武器，而且 ( m ) 的數量有限，就像我們只有有限的 “路障”，要合理安排它們的位置。
   • 模型構建：
     • 圖論模型：用有向圖 ( G=(V, E) ) 來描繪社交網絡，其中 ( V ) 是用戶節點集合， ( E ) 是邊的集合，邊 ( (u, v) ) 表示用戶 ( u ) 關注用戶 ( v ) ，為我們展示了謠言可能傳播的 “道路”。
     • 傳播模型：采用獨立級聯模型（IC），給每條邊賦予傳播概率 ( p_{uv} ) ，模擬謠言在這些 “道路” 上的傳播情況。
     • 優化目標：精心選擇節點集 ( S )（( |S| = m )），讓謠言傳播范圍 ( \sigma(S) ) 最小化，找到最能阻斷謠言傳播的 ( m ) 個 “路口”。
   • 模型求解：我們可以使用貪心算法來近似求解這個影響力最小化問題。貪心算法就像一個貪心的 “決策者”，每次都選擇阻斷最多剩余路徑的節點，逐步構建節點集 ( S ) ，就像一步步在交通網絡中找到最重要的 “路障” 位置。
   • 注意事項：
     • 數據精度：用戶關注關系數據和傳播概率 ( p_{uv} ) 的估計要盡可能準確，就像繪制地圖時每個細節都要精確，否則會影響模型的準確性，讓我們的 “路障” 放錯位置。
     • 模型假設的合理性：獨立級聯模型雖然是一個有用的工具，但它是一種簡化的傳播模型，在實際應用中可能存在一定的局限性。就像用一個簡單的模型來描述復雜的現實世界，可能有些地方不太準確。我們需要根據實際情況進行適當調整，讓模型更貼合實際。
     • 計算方法的選擇：貪心算法雖然可以在較短時間內得到近似解，但可能不是最優解。就像我們在尋找最佳方案時，走了一條相對快捷但不一定是最完美的路。在計算資源允許的情況下，可以考慮使用更精確的算法進行驗證，看看是否能找到更優的方案。
   • 總結：
     • 首先，用有向圖為社交網絡 “畫地圖”，建立獨立級聯傳播模型來模擬謠言傳播。
     • 然后，把選擇 ( m ) 個用戶的問題轉化為影響力最小化問題，就像在地圖上找到能攔住最多謠言傳播路線的 ( m ) 個點。
     • 最后，使用貪心算法，每次選擇阻斷最多剩余路徑的節點，確定這 ( m ) 個用戶，為謠言傳播設置有效的 “路障”。

   • 3.4 問題二分析

     問題起源與發展：同樣是基于社交網絡謠言傳播的現實，這個問題更加貼近生活實際，考慮到了用戶的自主性。就像在現實中，當有人邀請我們幫忙

   • 做一件事時，我們有自己的選擇權。平臺邀請用戶發布澄清信息時，用戶可能會拒絕。這個問題與第一階段問題 1 一起構成了第一階段的單一手段靜態優化問題，為第二階段問題 1 的對比評估提供了素材，就像為一場比賽準備了不同的參賽選手。
   • 解答思路：
     • 影響因素：這里的關鍵因素是用戶的拒絕概率 ( p_i ) 和用戶的影響力。我們要在這兩者之間找到一個平衡點，就像在天平的兩端放置合適的砝碼，選擇最合適的用戶發布澄清信息。比如，有些用戶影響力很大，但拒絕概率也高，我們就得權衡是否選擇他們。
     • 理論基礎：概率模型就像一個預測器，用于描述用戶同意發布澄清信息的概率 ( p_i ) 。目標函數的構建則基于最大化期望阻斷效果的原則，就像我們要制定一個計劃，讓每個被選中的用戶都能最大程度地發揮阻止謠言傳播的作用。