一、四元數的定義😎

四元數是一種高階復數，是一個四維空間的概念，相對于復數的二維空間。它可以表示為 $q=s+ix+jy+kz$，其中 $s$、$x$、$y$、$z$ 都是實數，并且滿足 $i^2=j^2=k^2=ijk=?1$，$ij=k$，$jk=i$，$ki=j$，$ji=?k$，$kj=?i$，$ik=?j$ 這些運算規則😜。

四元數的創造源于對復數以及矩陣的某些問題，在很多領域都有廣泛的應用，比如計算機圖形學、機器人學、航空航天等。它可以用來表示向量旋轉或者坐標系轉換，比歐拉角和旋轉矩陣更具優勢👏。例如，在計算機圖形學中，四元數可以避免歐拉角表示旋轉時出現的萬向節死鎖問題，并且計算更加緊湊高效，還能方便地進行球面插值。

二、萬向節死鎖😵

2.1 定義

萬向節死鎖（Gimbal Lock）是機械系統和三維空間旋轉控制中的一種現象，主要發生在使用歐拉角描述三維旋轉時😕。當一個旋轉軸在一定條件下與另一個旋轉軸重合時，系統失去了一個自由度，導致無法獨立控制所有旋轉方向，這種情況就稱為萬向節死鎖。

2.2 原理

歐拉角是用來描述三維空間中剛體旋轉的一種方法，它通過三個角度（通常為偏航角（yaw）、俯仰角（pitch）和滾轉角（roll））來確定剛體的旋轉狀態😃。然而，歐拉角描述旋轉時存在一個問題，就是當中間的旋轉軸轉動 90 度時，第一個旋轉軸和第三個旋轉軸會重合，系統就會損失一個自由度。

舉個例子🤔，假如我們有一個飛機模型，按照 $X?Y?Z$ 的順序進行旋轉。當飛機繞 $Y$ 軸旋轉 90 度時，$X$ 軸和 $Z$ 軸的旋轉效果就會相同，此時飛機就無法獨立控制繞 $X$ 軸的旋轉了，這就是萬向節死鎖的表現。

2.3 避免方法

根據使用場景調整旋轉順序：用歐拉角描述旋轉時無法完全避免死鎖問題，但可以根據使用場景來減少死鎖出現的概率。比如描述船在海上航行的姿態時，可以把中間的旋轉軸定義為船的左右方向，因為船幾乎很難在這個方向旋轉 90 度（船頭豎直朝上或朝下）🤗。
使用其他描述旋轉的方式：使用四元數、旋轉矩陣等其它方式描述旋轉。四元數可以避免萬向節死鎖現象，并且只需要一個 4 維的四元數就可以執行繞任意過原點的向量的旋轉，方便快捷，在某些實現下比旋轉矩陣效率更高😎。

三、Unity中的四元數🎉

3.1 歐拉角與四元數互相轉換

在 Unity 中，Transform 組件的 rotation 屬性是一個四元數，但為了方便理解，我們通常會使用歐拉角來表示旋轉。下面是歐拉角與四元數互相轉換的方法👇：

3.1.1 歐拉角轉四元數

// 獲得掛在該腳本的對象的歐拉角
Vector3 euler = this.transform.eulerAngles;
Quaternion quater = Quaternion.Euler(euler);
Quaternion quater1 = Quaternion.Euler(0, 0, 0);

這里的 Quaternion.Euler 方法可以將歐拉角轉換為四元數。它的實現原理是根據歐拉角的三個角度，通過一系列的三角函數計算得到四元數的四個分量😃。

3.1.2 四元數轉歐拉角
print(quater.eulerAngles);

通過 eulerAngles 屬性可以將四元數轉換為歐拉角。需要注意的是，四元數到歐拉角的轉換可能不是唯一的，因為一個旋轉可以用多個不同的歐拉角表示😉。

3.2 對比物體間的旋轉角度 Quaternion.Angle

Quaternion.Angle 方法用于計算兩個四元數前方矢量之間的夾角度數，也就是對比物體之間的旋轉角度😃。使用時需要聲明一個公共 Transform 對象，示例代碼如下：

public Transform target;void Update()
{float angle = Quaternion.Angle(transform.rotation, target.rotation);Debug.Log("角度: " + angle);
}

在這個例子中，我們在 Update 函數中不斷計算當前物體和目標物體之間的旋轉角度，并將結果輸出到控制臺。這個方法在很多場景中都很有用，比如游戲中判斷兩個角色的朝向夾角😎。

3.3 直接繞軸旋轉角度 Quaternion.AngleAxis

Quaternion.AngleAxis 方法用于創建一個繞指定軸旋轉指定角度的四元數😜。它的函數原型如下：

public static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis);

參數說明：

angle：旋轉的角度，以度為單位。
axis：旋轉的軸向，一個 Vector3 類型的對象。

返回值是一個 Quaternion 類型的對象，表示旋轉的結果。下面是一些使用示例👇：

3.3.1 繞 Y 軸旋轉游戲對象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed = 10f;private void Update(){// 根據旋轉速度和 Y 軸創建旋轉四元數Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed * Time.deltaTime, Vector3.up);// 將旋轉應用到游戲對象的旋轉屬性上transform.rotation *= rotation;}
}

在這個示例中，我們創建了一個名為 RotateObject 的腳本，并將其綁定到一個游戲對象上。腳本中定義了一個 rotationSpeed 變量來控制旋轉速度。在 Update 方法中，我們使用 Quaternion.AngleAxis 方法創建了一個繞 Y 軸旋轉的旋轉四元數 rotation，角度為 rotationSpeed 乘以 Time.deltaTime（用于平滑旋轉）。然后，將該旋轉應用到游戲對象的旋轉屬性上，使對象隨時間不斷繞 Y 軸旋轉😎。

3.3.2 繞任意軸旋轉游戲對象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed = 10f;public Vector3 rotationAxis = Vector3.up;private void Update(){// 根據旋轉速度和軸向創建旋轉四元數Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed * Time.deltaTime, rotationAxis);// 將旋轉應用到游戲對象的旋轉屬性上transform.rotation *= rotation;}
}

這個示例與上面的類似，只是我們可以指定任意的旋轉軸。通過修改 rotationAxis 變量，我們可以讓游戲對象繞不同的軸進行旋轉😃。

3.3.3 連續旋轉游戲對象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed1 = 10f;public float rotationSpeed2 = 5f;private void Update(){// 根據旋轉速度和 Y 軸創建旋轉四元數Quaternion rotation1 = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed1 * Time.deltaTime, Vector3.up);// 根據旋轉速度和 X 軸創建旋轉四元數Quaternion rotation2 = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed2 * Time.deltaTime, Vector3.right);// 將兩個旋轉應用到游戲對象的旋轉屬性上transform.rotation *= rotation1 * rotation2;}
}

在這個示例中，我們創建了兩個旋轉四元數 rotation1 和 rotation2，分別繞 Y 軸和 X 軸進行旋轉。然后，將這兩個旋轉應用到游戲對象的旋轉屬性上，使對象同時繞 Y 軸和 X 軸連續旋轉😜。

3.4 其他靜態方法

除了上面介紹的方法，Quaternion 類還有很多其他的靜態方法，如 Dot、Inverse、Lerp、LookRotation、RotateToWards 和 Slerp 等。這些方法的具體使用可以參考官方手冊😃。

四、四元數的計算🧮

4.1 加法

兩個四元數的加法就是將“實部虛部”對應位置做元素求和😃。設兩個四元數 $q_1=s_1+i{x}_1+j{y}_1+k{z}_1$ 和 $q_2=s_2+i{x}_2+j{y}_2+k{z}_2$，則它們的和為： $q_1+q_2=(s_1+s_2)+i(x_1+x_2)+j(y_1+y_2)+k(z_1+z_2)$

四元數的加法滿足交換律、結合律和分配律👏。

4.2 縮放

在系數縮放這一點上，四元數與復數是一致的😃。設四元數 $q=s+ix+jy+kz$，標量為 $\lambda$，則它們的乘積為： $\lambda q=\lambda s+i\lambda x+j\lambda y+k\lambda z$

4.3 乘法

四元數的乘法是所有元素之前都要運算一遍😕。設兩個四元數 $q_1=s_1+i{x}_1+j{y}_1+k{z}_1$ 和 $q_2=s_2+i{x}_2+j{y}_2+k{z}_2$，則它們的乘積為： $q_1{q}_2=(s_1{s}_2?x_1{x}_2?y_1{y}_2?z_1{z}_2)+i(s_1{x}_2+s_2{x}_1+y_1{z}_2?y_2{z}_1)+j(s_1{y}_2+s_2{y}_1+x_2{z}_1?x_1{z}_2)+k(s_1{z}_2+s_2{z}_1+x_1{y}_2?x_2{y}_1)$

需要注意的是，四元數與復數的最大的一點不同，復數乘法是有交換律的，而四元數沒有😉。也就是說，一般情況下 $q_1{q}_2\ne q_2{q}_1$。

4.3.1 旋轉 = 四元數 * 四元數

四元數相乘可以將旋轉效果組合😎。例如，$quaternion.euler(0,0,10)?quaternion.euler(0,0,15)==quaternion.euler(0,0,25)$，這就是四元數相乘的效果。在 Unity 中，我們可以通過四元數相乘來實現物體的復合旋轉。

4.3.2 旋轉向量 = 四元數 * 向量

四元數乘以向量表示將向量按照四元數表示的角度旋轉😃。例如，$vector3a=quaternion.euler(0,0,10)?newvector3(0,0,30)$ 表示將（0，0，30）這個向量繞 z 軸為定軸，順時針旋轉 10°。需要注意的是，四元數只能進行 * 運算，不能進行 + - 運算，這是由四元數復雜的內部原理決定的😜。

4.4 其他運算

四元數還有一些其他的運算，如求模、單位化、求共軛、求逆等😃。這些運算在四元數的應用中也非常重要，下面是它們的定義和公式：

4.4.1 求模

四元數 $q=s+ix+jy+kz$ 的模定義為： $|q|=\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}$

4.4.2 單位化

單位化是將四元數的模變為 1，公式為： $Normalize(q)=\frac{q}{|q|}$

4.4.3 求共軛

四元數 $q=s+ix+jy+kz$ 的共軛定義為： $q^{?}=s?ix?jy?kz$

4.4.4 求逆

四元數 $q$ 的逆定義為： $q^{?1}=\frac{q^{?}}{|q{|}^2}$

對于單位四元數，分母為 1，$q^{?1}=q^{?}$。

五、總結🥳

四元數在 Unity 中是一個非常重要的概念，它可以用來表示物體的旋轉，避免歐拉角表示旋轉時出現的萬向節死鎖問題😎。通過本文的介紹，我們了解了四元數的定義、萬向節死鎖的原理、Unity 中四元數的操作以及四元數的計算方法。希望這些內容對你有所幫助，讓你在使用 Unity 進行開發時能夠更加得心應手👏！

如果你想進一步了解四元數的相關知識，可以參考一些專業的數學書籍或者在線教程。同時，也可以通過實踐來加深對四元數的理解，比如在 Unity 中創建一些簡單的旋轉效果，使用四元數來實現物體的旋轉控制😃。