【參考資料】

1. 同濟大學《高等數學》教材
2. 樊順厚老師B站《高等數學精講》系列課程 （注：本筆記為個人數學復習資料，旨在通過系統化整理替代厚重教材，便于隨時查閱與鞏固知識要點）

僅用于個人數學復習，因為課本太厚了而且不方便帶著，所以才整理這樣一份筆記。

一、集合

集合（set）是由確定的、互異的、無序的對象（稱為元素）組成的整體。若 $x\in A$ 表示 $x$ 是集合 $A$ 的元素，$x\notin A$ 表示 $x$ 不是集合 $A$ 的元素。

列舉法：將集合的所有元素一一列出。 如： { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} {1,2,3}

描述法：通過元素的共同屬性描述集合。 如： { x ∈ R ∣ x > 0 } \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\} {x∈R∣x>0}

1.1 集合的性質

• 確定性：集合中的元素必須是明確的。
• 互異性：集合中的元素互不相同。
• 無序性：集合中的元素沒有順序之分。

1.2 常見數集

• 自然數集： N = { 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} N={0,1,2,…}
• 正整數集： N + = { 1 , 2 , 3 , … } \mathbb{N}^+ = \{1,2,3,\dots\} N+={1,2,3,…}
• 整數集： Z = { … , ? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} Z={…,?2,?1,0,1,2,…}
• 有理數集：$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\mid p\in \mathbb{Z},q\in {\mathbb{Z}}^{+}\right\}$
• 實數集：$\mathbb{R}$

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1.3 集合的運算

基本運算

• 并集： A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或? x ∈ B } A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} A∪B={x∣x∈A?或?x∈B}
• 交集： A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且? x ∈ B } A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} A∩B={x∣x∈A?且?x∈B}
• 差集： A ? B = { x ∣ x ∈ A 且? x ? B } A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} A?B={x∣x∈A?且?x∈/B}
• 補集：設全集為 $U$，則 $A$ 的補集為 ${?}_{U}A=U?A$
• 笛卡爾積：$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$

運算律

• 交換律：$A\cup B=B\cup A$，$A\cap B=B\cap A$
• 結合律：$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$，$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• 分配律：$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$，$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

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二、映射

2.1 映射基本概念

設 $X$ 和 $Y$ 是兩個非空集合，若存在一個法則 $f$，使得對 $X$ 中的每個元素 $x$，在 $Y$ 中有唯一確定的元素 $y$ 與之對應，則稱 $f$ 為從 $X$ 到 $Y$ 的映射，記作：
$$f:X\to Y$$
其中，$y=f(x)$ 稱為 $x$ 在映射 $f$ 下的像，$x$ 稱為 $y$ 的原像。

映射的三要素

1. 定義域：$D_f=X$
2. 對應法則：$f$
3. 值域： R f = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } ? Y R_f = f(X) = \{ f(x) \mid x \in X \} \subset Y Rf?=f(X)={f(x)∣x∈X}?Y

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2.2 映射分類

1. 滿射（Surjective）
   若映射的值域等于目標集 $Y$，即 $R_f=Y$，則稱 $f$ 為滿射。 定義：對任意 $y\in Y$，存在 $x\in X$，使得 $f(x)=y$。

2. 單射（Injective）
   若 $X$ 中任意兩個不同元素 $x_1\ne x_2$ 的像也不同，即 $f(x_1)\ne f(x_2)$，則稱 $f$ 為單射。

3. 雙射（Bijective）
   若映射 $f$ 既是單射又是滿射，則稱其為雙射（一一映射）。
   性質：雙射存在唯一的逆映射 $f^{?1}:Y\to X$。

$$\text{滿射：}f:\mathbb{R}\to [0,+\infty ),f(x)=x^2$$
$$\text{雙射：}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+3$$
$$\text{單射：}f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=e^x$$

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2.3 映射的性質與應用

1. 逆映射
   設 $f:X\to Y$ 是單射，則存在逆映射 $f^{?1}:R_f\to X$，滿足：
   $$f^{?1}(y)=x\text{當且僅當}f(x)=y$$
   注意：只有單射才能定義逆映射！

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2. 復合映射
   設 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是兩個映射，若 $R_f?D_g$，則可定義復合映射 $h:X\to Z$，記作 $h=g°f$，滿足：
   $$h(x)=g(f(x))\text{對所有}x\in X$$

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3. 映射的等價性
   映射 $f:X\to Y$ 是雙射，當且僅當存在映射 $g:Y\to X$，使得 $f°g={\text{id}}_Y$ 且 $g°f={\text{id}}_X$，其中 ${\text{id}}_X$ 是 $X$ 上的恒等映射。

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2.4 狄利克雷和符號

2.4.1 狄利克雷函數

定義：
$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\notin \mathbb{Q}\end{array}$$
性質：

• 定義域：$\mathbb{R}$
• 值域： { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}
• 無最小正周期（任何正有理數都是其周期）。

2.4.2 符號函數

定義：
$$\text{sgn}(x)=?\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ ?1,& x<0\end{array}$$
性質：

• 分段函數，值域為 { ? 1 , 0 , 1 } \{-1,0,1\} {?1,0,1}
• 滿足 $x=\text{sgn}(x)?|x|$

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三、區間和鄰域

3.1 區間

定義：區間是實數集的一個子集，通常表示為兩個端點之間的連續范圍。

分類：

• 閉區間：包含端點 $a$ 和 $b$，記作 [ a , b ] = { x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b } [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\} [a,b]={x∈R∣a≤x≤b}
• 開區間：不包含端點 $a$ 和 $b$，記作 ( a , b ) = { x ∈ R ∣ a < x < b } (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} (a,b)={x∈R∣a<x<b}
• 半開區間：包含一個端點，不包含另一個端點，記作 $[a,b)$ 或 $(a,b]$

區間的幾何表示：

• 閉區間：線段兩端點用實心點表示。
• 開區間：線段兩端點用空心點表示。
• 半開區間：一端用實心點，另一端用空心點表示。

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3.2 鄰域

點 $a$ 的 $\delta$ 鄰域：設 $\delta >0$，則開區間 $(a?\delta ,a+\delta )$ 稱為點 $a$ 的 $\delta$ 鄰域，記作 $U(a,\delta )$。 中心：點 $a$ ，半徑：$\delta$

去心鄰域：若去掉鄰域的中心 $a$，則稱為點 $a$ 的去心 $\delta$ 鄰域，記作 $U^{°}(a,\delta )$，即：
U ° ( a , δ ) = { x ∈ R ∣ 0 < ∣ x ? a ∣ < δ } U^\circ(a, \delta) = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < |x - a| < \delta\} U°(a,δ)={x∈R∣0<∣x?a∣<δ}

左 $\delta$ 鄰域：開區間 $(a?\delta ,a)$

右 $\delta$ 鄰域：開區間 $(a,a+\delta )$

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四、函數

4.1 函數特性

1. 有界性
   定義：函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上有界，若存在常數 $M>0$，使得對所有 $x\in I$，有 $|f(x)|\le M$。
   無界性：若不存在這樣的 $M$，則稱 $f(x)$ 在 $I$ 上無界。

2. 單調性

   • 單調遞增：若 $x_1<x_2$ 時，$f(x_1)\le f(x_2)$，則稱 $f(x)$ 在區間 $I$ 上單調遞增。
   • 單調遞減：若 $x_1<x_2$ 時，$f(x_1)\ge f(x_2)$，則稱 $f(x)$ 在區間 $I$ 上單調遞減。
   • 嚴格單調性：將“$\le$”或“$\ge$”替換為“$<$”或“$>$”即可。

3. 奇偶性

   • 偶函數：若 $f(?x)=f(x)$，則 $f(x)$ 是偶函數，圖象關于 $y$ 軸對稱。
   • 奇函數：若 $f(?x)=?f(x)$，則 $f(x)$ 是奇函數，圖象關于原點對稱。

4. 周期性：若存在正數 $T$，使得對所有 $x$，有 $f(x+T)=f(x)$，則稱 $f(x)$ 是周期函數，$T$ 為其周期。最小的正周期稱為基本周期。

   • 正弦函數 $f(x)=\sin x$ 的基本周期為 $2\pi$。
   • 狄利克雷函數 $D(x)$ 的任何正有理數都是其周期（無最小正周期）。

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4.2 六個基本初等函數

1. 常數函數

   • $f(x)=C$（$C$ 為常數）
   • 圖像為水平直線，有界且周期性（無最小正周期）。

2. 冪函數

   • $f(x)=x^{\alpha }$（$\alpha$ 為常數）
   • $\alpha >0$：圖像經過點 $(1,1)$，在 $x>0$ 時單調遞增。
   • $\alpha <0$：圖像經過點 $(1,1)$，在 $x>0$ 時單調遞減。

3. 指數函數

   • $f(x)=a^x$（$a>0,a\ne 1$）
   • $a>1$：單調遞增。
   • $0<a<1$：單調遞減。

4. 對數函數

   • $f(x)={\log }_{a}x$（$a>0,a\ne 1$）
   • $a>1$：單調遞增。
   • $0<a<1$：單調遞減。

5. 三角函數

   • 包括 $\sin x,\cos x,\tan x$ 等。
   • 周期性：$\sin x$ 和 $\cos x$ 的周期為 $2\pi$，$\tan x$ 的周期為 $\pi$。
   • 奇偶性：$\sin x$ 為奇函數，$\cos x$ 為偶函數。

6. 反三角函數

   • 包括 $\arcsin x,\arccos x,\arctan x$ 等。
   • $\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 的定義域為 $[?1,1]$，值域分別為 $[?\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 和 $[0,\pi ]$。
   • $\arctan x$ 的定義域為 $\mathbb{R}$，值域為 $(?\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。

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4.3 極值、最值、拐點

極值：通過導數判斷函數的極大值或極小值。

最值：在閉區間上連續的函數一定存在最大值和最小值。

拐點：函數圖像凹凸性發生改變的點，通過二階導數的符號變化確定。