【PINN】DeepXDE學習訓練營(13)——operator-antiderivative

一、引言

? ? ? ? 隨著人工智能技術的飛速發展，深度學習在圖像識別、自然語言處理等領域的應用屢見不鮮，但在科學計算、工程模擬以及物理建模方面，傳統的數值方法仍然占據主導地位。偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）作為描述自然界中眾多復雜現象的重要數學工具，在物理、化學、工程、金融等領域具有廣泛應用。然而，伴隨著高維度、多變量、復雜邊界條件等挑戰，傳統數值求解方法面臨效率低、適應性差等困境。

? ? ? ? 近年來，深度學習的崛起為科學計算帶來了全新的解決思路。其中，以深度偏微分方程（Deep PDE）為代表的研究方向，通過結合神經網絡與偏微分方程的理論，成功開發出高效、靈活的求解方案。這種方法不僅可以克服傳統方法的局限，還能應對高維、復雜幾何等問題。

? ? ? ? 作為深度偏微分方程領域的開源工具庫，DeepXDE（Deep Learning for Differential Equations）由lululxvi團隊精心開發，憑借其強大的功能、易用的接口和豐富的示例，受到學術界與工業界的廣泛關注。本文將系統介紹DeepXDE的基本內容與應用價值，深入探討其核心技術原理，分享環境配置與運行技巧，并結合實際案例進行分析，最后對未來發展趨勢進行展望。

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二、DeepXDE的用途

????????DeepXDE，一個基于TensorFlow和PyTorch的深度學習微分方程求解庫，應運而生。它提供了一個簡潔、高效且易于使用的框架，使得研究人員和工程師能夠利用深度學習技術求解各種類型的微分方程，包括常微分方程（ODEs）、偏微分方程（PDEs）、積分微分方程（IDEs）以及分數階微分方程（FDEs）。

????????DeepXDE旨在提供一站式的深度學習框架，用于高效求解各種偏微分方程，包括但不限于：

????????1. 傳統偏微分方程求解

定常和非定常問題：熱傳導方程、波動方程、拉普拉斯方程、擴散方程等。
線性和非線性方程：支持線性邊界條件，也能處理非線性、非局部問題。

????????2. 高維偏微分方程

????????在高維空間中，傳統數值方法面臨“維數災難”。DeepXDE利用神經網絡天然的高維逼近能力，有效解決高維PDE，如貝爾曼方程、多體問題等。

????????3. 復雜幾何和邊界條件

????????支持任意復雜的幾何區域、非均勻邊界條件，極大擴展了求解的適用范圍。

????????4.參數逆問題和數據驅動建模

????????整合數據，使模型在已知部分信息的基礎上進行參數識別、反演問題求解。

????????5. 動態系統和時間演化

????????支持帶有時間變量的演化問題，模擬動態過程。

????????6. 結合有限元、有限差分等方法

????????雖然核心為神經網絡，但兼容各種數值方法，提供靈活的求解策略。

????????7. 教育科研與工程實踐

????????豐富的案例與接口幫助科研人員快速驗證理論，工程師實現快速設計優化。

????????總結而言，DeepXDE不僅是一個純粹的數學工具，更是工程實踐中的“聰明助手”，幫助用戶以信賴深度學習的方式突破傳統技術瓶頸，實現創新性的科學計算。

三、核心技術原理

????????DeepXDE的核心思想是利用神經網絡作為逼近器，通過構造損失函數，使網絡能在滿足偏微分方程邊界條件的前提下逼近真實解。以下詳細闡釋其原理基礎。

????????1. 神經網絡逼近偏微分方程解

????????假設待求解的偏微分方程可以寫成：

$\mathcal{N}[u](x)=0,x\in\Omega,$

????????配合邊界條件

$\mathcal{B}[u](x)=g(x),x\in\partial \Omega,$

????????這里， $\mathcal{N}$ 代表微分算子， $\mathcal{B}$ 代表邊界條件算子。

????????DeepXDE利用深度神經網絡 𝑢𝜃(𝑥) 作為解的逼近，參數為 𝜃 。通過自動微分（AutoDiff），網絡可以自然求出 𝑢𝜃? 的各階導數，從而在網絡定義的每個點上計算微分方程的殘差。

????????2. 損失函數設計

????????訓練模型的目標是最小化殘差，使神經網絡逼近滿足偏微分方程的解。損失函數由兩部分組成：

方程殘差部分：

$\mathcal{L}_{\mathit{PDE}}=\frac{1}{N_{f}}\sum_{i=1}^{N_{f}}|\mathcal{N}[u_{ \theta}](x_{f}^{(i)})|^{2},$

????????其中，? $x{_{f}}^{(i)}$ ?為采樣點，用于評估微分殘差。

邊界條件部分：

$\mathcal{L}_{\mathit{BC}}=\frac{1}{N_{b}}\sum_{i=1}^{N_{b}}|\mathcal{B}[u_{ \theta}](x_{b}^{(i)})-g(x_{b}^{(i)})|^{2},$

????????結合整體目標函數：

$\mathcal{L}(\theta)=\lambda_{f}\mathcal{L}_{\mathit{PDE}}+\lambda_{b} \mathcal{L}_{\mathit{BC}},$

????????這里 $\lambda {_{f}}$ ?、 $\lambda {_{b}}$ 為調節系數。

????????3. 自動微分（AutoDiff）技術

????????深度學習框架如TensorFlow或PyTorch提供自動微分功能，方便快速計算神經網絡輸入的微分，自動應用鏈式法則求導，極大簡化偏微分方程的數值差分表達。

????????4. 訓練優化方法

????????利用成熟的梯度下降（SGD）、Adam等優化算法，通過反向傳播調節神經網絡參數，使損失函數達到最小。

????????5. 樣本生成和采樣策略

采樣點生成：采用隨機采樣、拉丁超立方（Latin Hypercube Sampling）或網格采樣來選取訓練點。
自適應采樣：在訓練過程中，根據誤差分布調整采樣點，提高訓練效率。

????????6. 復雜邊界與幾何的處理

????????采用非結構化的幾何描述和SDF（Signed Distance Function）結合，保證不同幾何形狀的靈活支持。

????????7. 逆問題與數據融合

????????在已知數據集上引入數據損失，使模型不僅滿足PDE，也通過端到端訓練實現數據匹配，增強實際適用性。

五、代碼詳解

"""支持的后端：tensorflow.compat.v1、tensorflow、pytorch、paddle"""
import deepxde as dde
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 載入訓練集
d = np.load("antiderivative_aligned_train.npz", allow_pickle=True)
# 提取X，包含兩個數組（假設X是由兩個部分組成的，可能是不同特征）
X_train = (d["X"][0].astype(np.float32), d["X"][1].astype(np.float32))
# 提取對應的標簽（Y）
y_train = d["y"].astype(np.float32)# 載入測試集
d = np.load("antiderivative_aligned_test.npz", allow_pickle=True)
X_test = (d["X"][0].astype(np.float32), d["X"][1].astype(np.float32))
y_test = d["y"].astype(np.float32)# 構建TripleCartesianProd數據對象，用于存放訓練和測試數據
# 這是適合多輸入、多輸出場景的高級數據接口
data = dde.data.TripleCartesianProd(X_train=X_train,y_train=y_train,X_test=X_test,y_test=y_test
)# 設置網絡參數
m = 100  # 輸入特征的維度或表示點數
dim_x = 1  # 輸入的空間維度，一般為1維的函數
# 創建DeepONet模型，使用Cartesian積結構
net = dde.nn.DeepONetCartesianProd([m, 40, 40],        # 第一支網絡的層結構（輸入層與隱藏層）[dim_x, 40, 40],    # 第二支網絡的層結構（輸入空間點和隱藏層）"relu",             # 激活函數為ReLU"Glorot normal",    # 權重初始化方式
)# 使用定義的網絡構建模型
model = dde.Model(data, net)# 編譯模型，設置優化器為Adam，學習率為0.001
# 還定義了一個評價指標：相對L2誤差
model.compile("adam", lr=0.001, metrics=["mean l2 relative error"])# 開始訓練，訓練總次數為10000次
losshistory, train_state = model.train(iterations=10000)# 繪制訓練過程中的損失變化曲線
dde.utils.plot_loss_history(losshistory)
plt.show()

六、總結與思考

????????DeepXDE作為深度偏微分方程求解的先進工具，展現出強大的學術研究與工程應用潛力。其基于自動微分的深度學習框架，使得復雜偏微分方程在高維、多幾何場景下的求解變得更為高效、靈活。相比傳統數值方法，DeepXDE具有架構簡單、擴展性強、支持數據融合等優點，極大地拓展了偏微分方程的應用邊界。

????????然而，深度學習方法仍面臨一些挑戰，比如訓練的不穩定性、超參數調優的復雜性、理論基礎的逐步完善等。未來，隨著硬件性能的提升、算法的不斷創新，DeepXDE有望在更高維度、更復雜的物理場景中表現出更強的競爭力。

????????在科學研究中，DeepXDE不僅是驗證創新理論的實驗平臺，更是推動工程實踐創新的橋梁。從基礎數學模型到端到端的數據驅動建模，深度偏微分方程代表了科學計算的未來方向。我們應積極探索其潛力，推動其在實際問題中的落地，為解決復雜系統的大規模仿真提供更強的工具。