【重走C++學習之路】16、AVL樹

目錄

一、概念

二、AVL樹的模擬實現

2.1 AVL樹節點定義

2.2 AVL樹的基本結構?

2.3?AVL樹的插入

1. 插入步驟

2. 調節平衡因子

3. 旋轉處理?

?4. 開始插入

2.4 AVL樹的查找

2.5 AVL樹的刪除

1. 刪除步驟

2. 調節平衡因子

3. 旋轉處理

4. 開始刪除

結語

一、概念

二叉搜索樹查找效率為O(logN)，但如果數據有序或接近有序二叉搜索樹將退化為單支樹，查找元素相當于在順序表中搜索元素，效率變為O(N)，效率低下。

因此，兩位俄羅斯的數學家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年發明了一種解決上述問題的方法：當向二叉搜索樹中插入新節點后，如果能保證每個節點的左右子樹高度之差的絕對值不超過1(超過則需要對樹中的節點進行調整)，即可降低樹的高度，從而減少平均搜索長度。

AVL樹具有以下特點：

  • 它的左右子樹都是AVL樹
  • 左右子樹高度之差(簡稱平衡因子)的絕對值不超過1(-1/01)

平衡因子的取值由自己規定，在這里為了模擬實現，規定左子樹的高度在根結點中為負值，右子樹的高度在根結點中為正值，即平衡因子=?右子樹高度 - 左子樹高度。

二、AVL樹的模擬實現

2.1 AVL樹節點定義

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;    // 該節點的左孩子AVLTreeNode<K, V>* _right;   // 該節點的右孩子AVLTreeNode<K, V>* _parent;  // 該節點的父結點pair<K, V> _kv;int _bf;                     // 該節點的平衡因子AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

2.2 AVL樹的基本結構?

template <class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const std::pair<K, V>& kv)；bool Find(const K& key)；bool Erase(const K& key)；private:Node* _root = nullptr;
};

2.3?AVL樹的插入

1. 插入步驟

  1. 按照二叉搜索樹的方式插入新節點
  2. 調整節點的平衡因子

2. 調節平衡因子

插入節點后，會影響該節點到根節點這一條路徑上節點的平衡因子，因此需要進行迭代，將這一條路徑上的平衡因子更新。

步驟：

第一步：?對插入的節點的父節點進行更新，會發生兩種情況：

  1. 如果插入的是根節點，則無父節點，不用更新。
  2. 如果插入的是父節點的左節點，則父節點的平衡因子-1；如果插入的是父節點的右節點，則父節點的平衡因子+1。

第二步：?父節點的平衡因子在插入節點后會有三種變化，也對應著三種措施：

  1. 父節點的平衡因子變為0，則說明在插入前兩顆子樹高度相差1，插入后整體的高度沒有發生變化，不需要向上繼續調整。
  2. 父節點的平衡因子變為-1或1，則說明在插入前兩顆子樹高度相等，插入后整體的高度+1，需要對父節點的父節點的平衡因子進行更新，這樣就回到了步驟一。
  3. 父節點的平衡因子變為-2或2，則說明在插入前兩個子樹高度相差1，且插入的節點為高度較高的那顆子樹的葉子節點，這導致了高度相差變為2，需要進行旋轉處理，降低樹的高度，從而達到平衡整顆樹的要求。

圖解：

第一種情況：

第二種情況：

可以看到這里在更新平衡因子的時候，只會影響節點到根節點路徑上的節點的平衡因子，其它的節點不需要考慮。

第三種情況：

更新平衡因子的時候，發現不滿足規則后，直接停止更新，轉而進行旋轉處理。

3. 旋轉處理?

旋轉有四種情況：

第一種情況：右單旋

新節點插入到較高左子樹的左側，左側的高度變高需要將右邊的調整下來，因此叫做右單旋。

具體操作：

讓subL的右孩子成為parent的左孩子，然后讓parent成為subL的右孩子，最后把兩個節點的平衡因子修改為0。

?圖解：

實現代碼：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 1.先讓把subL的右邊作為parent的左邊parent->_left = subLR;// 2.如果subLR不為空，就讓subLR的父指針指向parentif (subLR) subLR->_parent = parent;// 3.記錄parent的父節點的位置，然后把parent作為subL的右邊Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;// 4.parent的父指針指向subLparent->_parent = subL;// 5.如果ppNode為空，說明subR現在是根節點，就讓subL的父指針指向nullptr//   不是根節點就把subL的父指針指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subLif (pParent == nullptr){// 更新根節點_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{// 判斷parent是pparent的左還是右if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;subL->_parent = pParent;}// 6.把parent和subL的平衡因子更新為0subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

第二種情況：左單旋?

新節點插入到較高右子樹的右側，右側的高度變高需要將左邊的調整下來，因此叫做右單旋。

?具體操作：

讓subR的左孩子成為parent的右孩子，然后讓parent成為subR的左孩子，最后把兩個節點的平衡因子修改為0。

圖解：

實現代碼：

void RotateL(Node* parent)
{		Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;// 1.先讓把subR的左邊作為parent的右邊parent->_right = subRL;// 2.如果subRL不為空，就讓subRL的父指針指向parentif (subRL) subRL->_parent = parent;// 3.先記錄parent的父節點的位置，然后把parent作為subR的左邊 Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;// 4.parent的父指針指向subRparent->_parent = subR;// 5.如果ppNode為空，說明subR現在是根節點，就讓subR的父指針指向nullptr//   不是根節點就把subR的父指針指向parent的父節點，parent的父節點（左或右）指向subRif (pParent == nullptr){// 更新根節點_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{// 判斷parent是ppNode的左還是右if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = pParent;}// 6.把parent和subR的平衡因子更新為0subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

第三種情況：左右雙旋?

新節點插入在較高左子樹右側，這里和第一種情況的區別就是前者是直線，后者是折線

具體操作：

先對subL進行一個左單旋，然后對parent進行右單旋，修改平衡因子，有三種改法。三個節點從左至右的三個節點一次是：subL、subLR和parent。
如果subLR的平衡因子為0，就將它們依次改為0，0, 0；
如果subLR的平衡因子為1，就將它們依次改為-1，0, 0；
如果subLR的平衡因子為-1，就將它們依次改為0，0, 1。

圖解：（這里只畫出了一種情況，剩下的類似）

實現代碼：

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;// 保留subLR的平衡因子的值，方便知道新插入的節點是在subLR的左子樹還是右子樹// 旋轉 先對subL進行左旋轉，再對parent進行右旋轉RotateL(subL);RotateR(parent);// 從左到右 subL subLR parentif (bf == -1)// subLR的左子樹  bf: 0 0 1{subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1)// subLR的右子樹 bf: -1 0 0{subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}
}

第四種情況：右左單旋?

新節點插入在較高右子樹左側，這里和第二種情況的區別就是前者是直線，后者是折線

?具體操作：

先對subR進行一個右單旋，然后對parent進行左單旋，修改平衡因子，有三種改法。三個節點從左至右的三個節點一次是：parent、subRL和subR。
如果subRL的平衡因子為0，就將它們依次改為0，0, 0；
如果subRL的平衡因子為1，就將它們依次改為-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子為-1，就將它們依次改為0，0, 1。

圖解：（這里只畫出了一種情況，剩下的類似）

實現代碼：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;// 保留subRL的平衡因子的值，方便知道新插入的節點是在subRL的左子樹還是右子樹// 旋轉 先對subR進行右旋轉，再對parent進行左旋轉RotateR(subR);RotateL(parent);// 從左到右 parent subRL subRif (bf == -1)// subRL的左子樹  bf: 0 0 1{parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1)// subRL的右子樹 bf: -1 0 0{parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;}
}

?4. 開始插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// 先按照二叉搜索數一樣插入元素// 無節點是插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}// 有節點時插入Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){parent = cur;// 小于往左走if (kv.first < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}// 大于往右走else if (kv.first > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{// 找到了，就返回falsereturn false;}}cur = new Node(kv);// 判斷cur應該插在parent的左還是右 // 小于在左，大于在右		if (cur->_kv.first < parent->_kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}// 更新parent的平衡因子// 節點的插入只會影響cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情況）while (parent){// 更新parent的平衡因子// cur在parent的左，parent->_bf--// cur在parent的右，parent->_bf++if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;// bf 可能為 -2、-1、0、1、2if (parent->_bf == 0){// 對上層無影響，退出break;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){// 對上層有影響，迭代更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else{// 平衡樹出現了問題，需要調整// 1.右邊高，左旋轉調整if (parent->_bf == 2){// 如果是一條直線==>左旋轉即可// 如果是一條折線==>右左旋轉if (cur->_bf == 1)RotateL(parent);else if (cur->_bf == -1)RotateRL(parent);}// 2.左邊高，右旋轉調整else if (parent->_bf == -2){// 如果是一條直線==>右旋轉即可// 如果是一條折線==>左右旋轉if (cur->_bf == -1)RotateR(parent);else if (cur->_bf == 1)RotateLR(parent);}// 調整后是平衡樹，bf為0，不需要調整了break;}}return bool;
}

2.4 AVL樹的查找

與二叉搜索樹的過程一致，這里就不多解釋了，直接上代碼：

bool Find(const K& key)
{if (_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while (cur){// 小于往左走if (key < cur->_kv.first){cur = cur->_left;}// 大于往右走else if (key > cur->_kv.first){cur = cur->_right;}else{// 找到了return true;}}return false;
}

2.5 AVL樹的刪除

1. 刪除步驟

  1. 我們先按照二叉搜索樹樹刪除節點的方式，刪除節點。
  2. 根據對應刪除情況更新平衡因子，更新平衡因子的方法與插入的更新方法是相反的。

2. 調節平衡因子

步驟：

第一步：

  1. 刪除節點后，如果刪除的節點為根節點，就結束。
  2. 如果刪除節點是父節點的左孩子，那么父節點的平衡因子加1；刪除節點是父節點的右孩子，那么父節點的平衡因子減1。

第二步：父節點的平衡因子在插入節點后會有三種變化，也對應著三種措施：

  1. 父節點的平衡因子變為0，則說明刪除前父親的平衡因子為1或-1，多出一個左節點或右節點，刪除節點后，左右高度相等，整體高度減1，對上層有影響，需要繼續調節。
  2. 父節點的平衡因子變為-1或1，則說明刪除前父親的平衡因子為0，左右高度相等，刪除節點后，少了一個左節點或右節點，但是整體高度不變，對上層無影響，不需要繼續調節。
  3. 父節點的平衡因子變為-2或2，則說明刪除前父親的平衡因子為-1或1，多了一個左節點或一個右節點，刪除了一個右節點或左節點，此時多了兩個左節點和右節點，這棵子樹一邊已經被拉高了，此時這棵子樹不平衡了，需要旋轉處理。

3. 旋轉處理

這里的旋轉與插入時旋轉的沒有區別，就不詳細解答了，直接上代碼。

4. 開始刪除

bool Erase(const K& key)
{if (_root == nullptr)return false;// 有節點時插入Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){// 小于往左走if (key < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}// 大于往右走else if (key > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 找到了// 1.左邊為空，把parent指向cur的右// 2.右邊為空，把parent指向cur的左// 3.左右都不為空，用右子樹的最左邊的節點的值替換要刪除的節點，然后轉換為用1的情況刪除該節點if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;delete cur;break;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;parent->_bf++;}else{parent->_right = cur->_right;parent->_bf--;}}if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) UpdateBf(parent);delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;delete cur;break;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;parent->_bf++;}else{parent->_right = cur->_left;parent->_bf--;}}if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) UpdateBf(parent);delete cur;}else{Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;// 先去右子樹while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;// 一種往左走}cur->_kv = rightMin->_kv;// 替代刪除// 刪除minNode  第一種情況：左節點為空if (rightMinParent->_left == rightMin){rightMinParent->_left = rightMin->_right;rightMinParent->_bf++;}else{rightMinParent->_right = rightMin->_right;rightMinParent->_bf--;}if (rightMinParent->_bf != -1 && rightMinParent->_bf != 1)                 UpdateBf(rightMinParent);delete rightMin;}return true;}}return false;
}void UpdateBf(Node* parent)
{if (parent == nullptr)return;Node* cur = parent;goto first;while (parent){// 更新parent的平衡因子// cur在parent的左，parent->_bf++// cur在parent的右，parent->_bf--if (cur == parent->_left)parent->_bf++;elseparent->_bf--;// bf 可能為 -2、-1、0、1、2first:if (parent->_bf == 0){// 對上層有影響，迭代更新// 如果parent是根節點就結束if (parent->_parent == nullptr)break;cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1){// 對上層無影響，退出break;}else{// 平衡樹出現了問題，需要調整// 1.右邊高，左旋轉調整if (parent->_bf == 2){// 如果是一條直線==>左旋轉即可// 如果是一條折線==>右左旋轉if (parent->_right->_bf == 1){RotateL(parent);cur = parent->_parent;parent = cur->_parent;continue;}else if (parent->_right->_bf == -1)// 調整后 p sL s  如果sL是1或-1可以退出 {Node* s = parent->_right;Node* sL = s->_left;RotateRL(parent);// 不平衡向上調整if (sL->_bf != 1 && sL->_bf != -1){cur = sL;parent = cur->_parent;continue;}}else if (parent->_right->_bf == 0)    // 平衡因子修改{RotateL(parent);parent->_bf = 1;parent->_parent->_bf = -1;}}// 2.左邊高，右旋轉調整else if (parent->_bf == -2){// 如果是一條直線==>右旋轉即可// 如果是一條折線==>左右旋轉if (parent->_left->_bf == -1){RotateR(parent);cur = parent->_parent;parent = cur->_parent;continue;    //parent不是-1或1就繼續}else if (parent->_left->_bf == 1)// 調整后 s sR p  如果sL是1或-1可以退出{Node* s = parent->_left;Node* sR = s->_right;RotateLR(parent);// 不平衡向上調整 為0時如果parent為根//if (sR->_bf != 1 && sR->_bf != -1){cur = sR;parent = cur->_parent;continue;}}else if (parent->_left->_bf == 0)    // 平衡因子修改{RotateR(parent);parent->_parent->_bf = 1;parent->_bf = -1;}}// 調整后是平衡樹，bf為1或-1，不需要調整了break;}}
}

結語

上面這些是AVL樹的大致內容，其中旋轉是有些難的地方，但是面試會考察，需要著重掌握，而刪除是二叉搜索樹的刪除加上旋轉的疊加，難度更上一層了，這里如果沒能理解，可以自己畫一畫圖，并且配合著插入的圖來分析，應該會有所幫助。

下一篇將會介紹二叉搜索樹的另一種改良：紅黑樹，有興趣的朋友可以關注一下。

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