線性代數

1 行列式

1.1 $n$ 階行列式

定義 1.1.1：稱以下的式子為一個 $n$ 階行列式：
$$\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& ?& a_{nn}\end{array}\right|$$

其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素成為行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 的第 $(i,j)$ 元素。
元素 $a_{11},a_{22},?,a_{nn}$ 稱為 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 的主對角線。

性質 1：上三角行列式的值等于其對角線元素之和。
性質 2：行列式某行（列）全為零，則行列式的值等于零。
性質 3：用常數 $c$ 乘以行列式的某一行（列），得到的行列式的值等于原行列式的值的 $c$ 倍。
性質 4：交換行列式不同的兩行（列），行列式的值變號。
性質 5：若行列式兩行（列）成比例，則行列式的值為零。
性質 6：若行列式中某行（列）元素均為兩項之和，則行列式可表示為兩個行列式之和。
性質 7：行列式的某一行（列）乘以某個數加到另一行（列）上，行列式的值不變。
性質 8：行列式和其轉置有相同的值。

定義 1.1.2：定義元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 為由其行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 中劃去第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的元素組成的行列式。
定義 1.1.3：在行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 中，$a_{ij}$ 的代數余子式定義為：$A_{ij}=(?1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 為 $a_{ij}$ 的余子式。

1.2 行列式的展開

設 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 是 $n$ 階行列式，元素 $a_{ij}$ 的代數余子式記為 $A_{ij}$，則對任意 $s,r(=1,2,?,n),s\ne r$ 存在：
$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|=\sum _{i=1}^n{a}_{ir}{A}_{ir} \\ \sum _{i=1}^n{a}_{ir}{A}_{is}=0 \end{gathered}$$

1.3 Cramer 法則

設線性方程組：
$$?\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+?+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+?+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ?\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+?+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
記其系數行列式為 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ ，則：
$$x_1=\frac{\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|},x_2=\frac{\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|},?,x_n=\frac{\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_n\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|}$$

其中 $\left|\begin{array}{c}{\mathbf{A}}_j\end{array}\right|$ 為 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 去掉第 $j$ 列并用 $b_1,b_2,?,b_n$ 將之替換的 $n$ 階行列式。

2 矩陣

2.1 矩陣的概念

定義 2.1.1：由 $mn$ 個數 $a_{ij}(i=1,2,?,m;j=1,2,?n)$ 拍成 $m$ 行 $n$ 列的矩形陣列：
$$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& ?& a_{nn}\end{array}$$
稱為 $m$ 行 $n$ 列矩陣，簡稱為 $m\times n$ 矩陣（或 $m\times n$ 陣）。

若 $\mathbf{A}$ 的元素全是實數則稱 $\mathbf{A}$ 為實矩陣。
若 $\mathbf{A}$ 的元素全是復數則稱 $\mathbf{A}$ 為復矩陣。
若所有元素均為 $0$ 則稱為零矩陣 $\mathrm{O}$，或 ${\mathrm{O}}_{m\times n}$。
若 $m=n$ 則稱為方陣，反之為長方陣。
若方陣 $\mathbf{A}$ 僅存在對角元 $a_{11},a_{22},?,a_{nn}$ 則簡記為 $\mathbf{A}=\mathbf{diag}(a_{11},a_{22},?,a_{nn})$。
進一步，若 $a_{11}=a_{22}=?=a_{nn}=1$ 則稱 ${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{diag}(1,1,?,1)$ 為 $n$ 階單位矩陣。

2.2 矩陣的運算

一、矩陣加減法

定義 2.2.1：設有兩個 $m\times n$ 矩陣 $\mathbf{A}=(a_{ij}),\mathbf{B}=(b_{ij})$，定義 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 是一個 $m\times n$ 矩陣且 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 的第 $(i,j)$ 元素等于 $a_{ij}+b_{ij}$，即$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=(a_{ij}+b_{ij})$$
矩陣的減法可看作矩陣加法的逆運算，即
$$\mathbf{A}?\mathbf{B}=(a_{ij}?b_{ij})$$
定義 2.2.2：定義 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 的負矩陣為 $?\mathbf{A}=(?a_{ij})$，則有 $\mathbf{A}+(?\mathbf{A})=\mathbf{O}$。

矩陣加減法運算規則：

1. 交換律：$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$。
2. 結合律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$。
3. $\mathbf{O}+\mathbf{A}=\mathbf{A}+\mathbf{O}=\mathbf{A}$。
4. $\mathbf{A}+(?\mathbf{B})=\mathbf{A}?\mathbf{B}$。

二、矩陣的數乘

定義 2.2.3：設 $\mathbf{A}$ 是一個 $m\times n$ 矩陣，$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，$c$ 是一個常數，定義 $c\mathbf{A}=(c{a}_{ij}{)}_{m\times n}$ 。$c\mathbf{A}$ 稱為數 $c\mathbf{A}$ 的數乘。

矩陣的數乘運算規則：

1. $c(\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}$。
2. $(c+d)\mathbf{A}=c\mathbf{A}+d\mathbf{A}$。
3. $(cd)\mathbf{A}=c(d\mathbf{A})$。
4. $1?\mathbf{A}=\mathbf{A}$。
5. $0?\mathbf{A}=\mathbf{O}$。

三、矩陣的乘法

定義 2.2.4：設有 $m\times k$ 矩陣 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times k}$，以及 $k\times n$ 矩陣 $\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{m\times n}$。定義 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的乘積 $\mathbf{AB}$ 是一個 $m\times n$ 矩陣且 $\mathbf{AB}$ 的第 $(i,j)$ 元素
$$c_{ij}=\sum _{l=1}^k{a}_{il}{b}_{lj}$$

矩陣乘法的運算規則：

1. 結合律：$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})$。
2. 左右分配律：$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC},(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{AB}+\mathbf{BC}$。
3. $c(\mathbf{AB})=(c\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(c\mathbf{B})$。
4. 對任意的 $m\times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$，${\mathbf{I}}_{\mathbf{m}}\mathbf{A}=\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$。

方陣冪運算規則：

1. ${\mathbf{A}}^r{\mathbf{A}}^s={\mathbf{A}}^{r+s}$。
2. $({\mathbf{A}}^r{)}^s={\mathbf{A}}^{rs}$。

四、矩陣的轉置

定義 2.2.5：設 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是 $m\times n$ 矩陣，定義 $\mathbf{A}$ 的轉置 ${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$ 為一個 $n\times m$ 矩陣，它的第 $k$ 行正好是矩陣 $\mathbf{A}$ 的第 $k$ 列（$k=1,2,?,n$）；它的第 $r$ 行是 $\mathbf{A}$ 的第 $r$ 行（$r=1,2,?,n$）。

矩陣轉置運算規則：

1. $({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}{)}^{\mathbf{T}}=\mathbf{A}$。
2. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathbf{T}}={\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}$。
3. $(c\mathbf{A}{)}^{\mathbf{T}}=c{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$。
4. $(\mathbf{AB}{)}^{\mathbf{T}}={\mathbf{B}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$。

五、矩陣的共軛

定義 2.2.6：設 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 是一個復矩陣，則 $\mathbf{A}$ 的共軛矩陣 $\overline{\mathbf{A}}$ 是一個 $m\times n$ 復矩陣，且
$$\overline{\mathbf{A}}=({\overline{a}}_{ij}{)}_{m\times n}$$

矩陣共軛運算規則：

1. $\overline{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}}$。
2. $\overline{c\mathbf{A}}=\overline{c}\overline{\mathbf{A}}$。
3. $\overline{\mathbf{AB}}=\overline{\mathbf{A}}\overline{\mathbf{B}}$。
4. $\overline{({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}})}=(\overline{\mathbf{A}}{)}^{\mathbf{T}}$。

2.3 方陣的逆陣

定義 2.3.1：設 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 階方陣，若存在一個 $n$ 階方陣 $\mathbf{B}$，使得：
$$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}={\mathbf{I}}_{\mathbf{n}},$$
則稱 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的逆陣，記為 $\mathbf{B}={\mathbf{A}}^{?1}$。凡有逆陣的矩陣稱為可逆陣或非奇異陣（簡稱非異陣），否則稱為奇異陣。

矩陣求逆運算規則：

1. 若 $\mathbf{A}$ 是非異陣，則 $({\mathbf{A}}^{?1}{)}^{?1}=\mathbf{A}$。
2. 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 階非異陣，則 $\mathbf{AB}$ 也是 $n$ 階非異陣且 $(\mathbf{AB}{)}^{?1}={\mathbf{B}}^{?1}{\mathbf{A}}^{?1}$。
3. 若 $\mathbf{A}$ 是非異陣，$c$ 是非零數，則 $c\mathbf{A}$ 也是非異陣且 $(c\mathbf{A}{)}^{?1}=c^{?1}{\mathbf{A}}^{?1}$。
4. 若 $\mathbf{A}$ 是非異陣，則 $\mathbf{A}$ 的轉置 ${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$ 也是非異陣且 $({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}{)}^{?1}=({\mathbf{A}}^{?1}{)}^{\mathbf{T}}$。

設 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 階方陣，這個方陣決定了一個 $n$ 階行列式，記為 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 或 $\det \mathbf{A}$。

定義 2.3.2 ：設 $A$ 是 $n$ 階方陣，$A_{ij}$ 是行列式 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|$ 中第 $(i,j)$ 元素 $a_{ij}$ 的代數余子式，則稱下列方陣為 $\mathbf{A}$ 的伴隨陣：
$$\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ?& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ?& A_{n2}\\ ?& ?& ?& ?\\ A_{1n}& A_{2n}& ?& A_{nn}\end{array}\right)$$
$\mathbf{A}$ 的伴隨矩通常記為 ${\mathbf{A}}^{?}$。

引理 2.3.1：設 $\mathbf{A}$ 為 $n$ 階方陣，${\mathbf{A}}^{?}$ 為 $\mathbf{A}$ 的伴隨矩，則
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{?}={\mathbf{A}}^{?}\mathbf{A}=\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|?{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$$

定理 2.3.1：若 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|\ne 0$，則 $\mathbf{A}$ 是一個非異陣，且
$${\mathbf{A}}^{?1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}\mathbf{A}\end{array}\right|}{\mathbf{A}}^{?}$$

2.4 矩陣的初等變換與初等矩陣