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1. NumPy庫介紹

NumPy（Numerical Python）是Python編程語言的一個核心庫，用于大量的科學計算。 NumPy提供了對大型、多維數組和矩陣的支持，并且附帶了大量的數學函數庫來進行這些數組的操作。它是許多高級數據分析和機器學習庫的基礎，比如Pandas、SciPy和Scikit-learn。

NumPy的主要優勢在于其數組對象（ndarray），這種對象比Python列表更為高效，可以存儲同類型的數據元素，并且支持各種復雜的數值運算。對于需要進行大量數值計算和數據處理的應用程序，NumPy是首選工具。

2. linalg 模塊介紹

numpy.linalg 模塊提供了一組用于線性代數的基礎函數。這些函數涵蓋了矩陣分解、矩陣特征值與特征向量、求解線性系統等操作。線性代數是科學計算中一個重要的部分，NumPy通過numpy.linalg模塊為用戶提供高效且功能齊全的線性代數工具。

常用的 numpy.linalg 函數概述：

• linalg.inv: 計算矩陣的逆矩陣。
• linalg.det: 計算矩陣的行列式。
• linalg.eig: 計算矩陣的特征值與特征向量。
• linalg.solve: 解決線性方程組。
• linalg.norm: 計算矩陣或向量的范數。

2.1 函數定義及參數說明

linalg.inv

計算逆矩陣。

numpy.linalg.inv(a)

參數:

• a: 輸入方陣。

返回:

• out: 輸入矩陣的逆矩陣。

linalg.det

計算矩陣的行列式。

numpy.linalg.det(a)

參數:

• a: 輸入方陣。

返回:

• 行列式的值。

linalg.eig

計算矩陣的特征值與特征向量。

numpy.linalg.eig(a)

參數:

• a: 輸入方陣。

返回:

• w: 特征值數組。
• v: 特征向量構成的二維數組。

linalg.solve

解決線性方程組。

numpy.linalg.solve(a, b)

參數:

• a: 系數矩陣。
• b: 目標矩陣（或向量）。

返回:

• 解向量或矩陣。

linalg.norm

計算矩陣或向量的范數。

numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

參數:

• x: 輸入數組。
• ord: 范數類型（默認為2范數）。
• axis: 計算范數的維度。
• keepdims: 布爾值，是否保持原數組的維度。

返回:

• 范數值。

3. 示例代碼

接下來我們通過一些示例代碼來展示numpy.linalg模塊的具體用法。

3.1 計算矩陣的逆矩陣

在這個示例中，我們將展示如何計算一個方陣的逆矩陣。

import numpy as np# 創建一個二維數組表示矩陣
A = np.array([[1, 2],[3, 4]])# 計算矩陣的逆矩陣
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("Inverse of A:\n", A_inv)

輸出如下：

Inverse of A:[[-2.   1. ][ 1.5 -0.5]]

3.2 計算矩陣的行列式

行列式是矩陣的重要屬性之一，尤其在求解線性方程和矩陣特征值時起重要作用。

import numpy as np# 創建一個二維數組表示矩陣
A = np.array([[1, 2],[3, 4]])# 計算矩陣的行列式
det_A = np.linalg.det(A)
print("Determinant of A:", det_A)

輸出如下：

Determinant of A: -2.0000000000000004

3.3 計算矩陣的特征值與特征向量

特征值與特征向量在很多領域有應用，如振動分析、圖像處理和物理學。

import numpy as np# 創建一個二維數組表示矩陣
A = np.array([[1, 2],[2, 1]])# 計算矩陣的特征值與特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("Eigenvalues of A:", eigenvalues)
print("Eigenvectors of A:\n", eigenvectors)

輸出如下：

Eigenvalues of A: [ 3. -1.]
Eigenvectors of A:[[ 0.70710678 -0.70710678][ 0.70710678  0.70710678]]

3.4 解決線性方程組

求解形如 (Ax = b) 的線性方程組。

import numpy as np# 創建系數矩陣A和目標向量b
A = np.array([[3, 1],[1, 2]])
b = np.array([9, 8])# 解決線性方程組
x = np.linalg.solve(A, b)
print("Solution x:", x)

輸出如下：

Solution x: [2. 3.]

3.5 計算矩陣或向量的范數

范數是衡量矩陣或向量大小的一種方式。

import numpy as np# 創建一個二維數組表示矩陣
A = np.array([[1, 2],[3, 4]])# 計算矩陣的Frobenius范數
norm_A = np.linalg.norm(A)
print("Frobenius norm of A:", norm_A)# 創建一個一維數組表示向量
v = np.array([1, 2, 3])# 計算向量的2范數（歐幾里得范數）
norm_v = np.linalg.norm(v)
print("2-norm of v:", norm_v)

輸出如下：

Frobenius norm of A: 5.477225575051661
2-norm of v: 3.7416573867739413

4. 實際應用：主成分分析（PCA）

主成分分析（PCA）是數據降維的經典方法。這里我們展示如何使用 numpy.linalg 進行PCA實現。

import numpy as np# 創建一個示例數據集
X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9], [1.9, 2.2], [3.1, 3.0], [2.3, 2.7], [2, 1.6], [1, 1.1], [1.5, 1.6], [1.1, 0.9]])# 減去數據的均值
X_mean = X - np.mean(X, axis=0)# 計算協方差矩陣
cov_matrix = np.cov(X_mean, rowvar=False)# 計算協方差矩陣的特征值與特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)# 將特征值排序，并獲得相應的特征向量
sorted_index = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
sorted_eigenvalues = eigenvalues[sorted_index]
sorted_eigenvectors = eigenvectors[:, sorted_index]# 選擇前兩個主成分
n_components = 2
eigenvector_subset = sorted_eigenvectors[:, 0:n_components]# 將數據投影到主成分空間
X_reduced = np.dot(eigenvector_subset.transpose(), X_mean.transpose()).transpose()print("Reduced data:\n", X_reduced)

輸出如下：

Reduced data:[[ 0.82797019  0.17511531][-1.77758033  0.14285723][ 0.99219749  0.38437499][ 0.27421042  0.13041721][ 1.67580142 -0.20949846][ 0.9129491   0.17528244][ 0.09910944 -0.3498247 ][-1.14457216  0.04641726][-0.43804614  0.01776463][-1.40196572 -0.384375  ]]

5. 總結

NumPy是進行科學計算的強大工具，該庫的numpy.linalg模塊則專門提供了各種線性代數運算的支持。在這篇文章中，我們詳細介紹了numpy.linalg中的一些常用函數，并通過豐富的示例演示了它們的具體應用。

通過這些示例，我們了解到：

1. numpy.linalg.inv 用于計算矩陣的逆矩陣。
2. numpy.linalg.det 用于計算矩陣的行列式。
3. numpy.linalg.eig 用于計算矩陣的特征值與特征向量。
4. numpy.linalg.solve 用于解決線性方程組。
5. numpy.linalg.norm 用于計算矩陣或向量的范數。

此外，我們還展示了numpy.linalg在主成分分析（PCA）中的實際應用，展示了如何使用這些線性代數函數來進行數據降維操作。

掌握NumPy中的linalg模塊，不僅能夠有效完成各種線性代數計算，還能在實際的數據處理和分析任務中提供重要支持。如果你對更多的NumPy功能感興趣，建議繼續深入學習和探索。