目錄
1.前言
2.算法運行效果圖預覽
3.算法運行軟件版本
4.部分核心程序
5.算法仿真參數
6.算法理論概述
7.參考文獻
8.算法完整程序工程
1.前言
? ? ? ?三次樣條插值是一種在數據擬合和信號處理中廣泛應用的技術，它通過構造分段三次多項式來逼近給定的離散數據點，確保整個插值函數在節點處具有連續的一階和二階導數，從而獲得平滑的插值結果。在 FPGA 實現中，由于其并行計算和硬件加速的特性，能夠高效處理實時性要求高的插值任務。
2.算法運行效果圖預覽
(完整程序運行后無水印)
3.算法運行軟件版本
vivado2019.2
4.部分核心程序
（完整版代碼包含中文注釋和操作步驟視頻）
//p1 = M4(i,1) *(X(i+1)-x(t))^3/(6*h4(i));
wire signed[31:0]tmp1_1,tmp1_2,tmp1_3,tmp1_4;
mult1 mult1_u1(.A(M4_ia), .B(16'd16+X_ia - xta), .P(tmp1_1));
mult1 mult1_u2(.A(16'd16+X_ia - xta), .B(16'd16+X_ia - xta), .P(tmp1_2));
mult1 mult1_u3(.A(tmp1_1[17:2]), .B(tmp1_2[17:2]), .P(tmp1_3));
mult1 mult1_u4(.A(6), .B(h4a), .P(tmp1_4));
reg signed[31:0]p1s;
35_008m5.算法仿真參數
16;//插值倍數
6.算法理論概述
1. 三次樣條函數的表達式
對于每個子區間 [x?,x???]，三次樣條函數可表示為：
S?(x) = a? + b?(x-x?) + c?(x-x?)2 + d?(x-x?)3
其中，a?、b?、c?、d?為待定系數，需要根據插值條件和連續性條件確定。
2. 插值條件約束
由插值條件 S?(x?)=y?，可得：
a? = y?
由 S?(x???)=y???，代入 x=x???得：
y??? = a? + b?h? + c?h?2 + d?h?3
其中 h? = x??? - x?，為區間長度。
3. 一階導數連續性條件
計算一階導數：
S?’(x) = b? + 2c?(x-x?) + 3d?(x-x?)2
在節點 x???處，左導數 S?’(x???) 應等于右導數 S???’(x???)，即：
b? + 2c?h? + 3d?h?2 = b???
4. 二階導數連續性條件
計算二階導數：
S?''(x) = 2c? + 6d?(x-x?)
在節點 x???處，左二階導數 S?''(x???) 應等于右二階導數 S???''(x???)，即：
2c? + 6d?h? = 2c???
化簡得：
c? + 3d?h? = c???
5. 引入二階導數變量
令 M? = S''(x?)，即節點 x?處的二階導數值，則在區間 [x?,x???] 內：
S?''(x) = M? + 6d?(x-x?)
當 x=x?時，S?''(x?)=M?，故 2c? = M?，即 c? = M?/2
當 x=x???時，S?''(x???)=M???，故 2c? + 6d?h? = M???，代入 c?得：
M? + 6d?h? = M???
解得：d? = (M??? - M?)/(6h?)
6. 推導一階導數系數
由 S?(x???)=y???，代入 a?=y?，c?=M?/2，d?=(M??? - M?)/(6h?) 得：
y??? = y? + b?h? + (M?/2) h?2 + [(M??? - M?)/(6h?)] h?3
化簡得：
b? = (y??? - y?)/h? - (M?h?)/2 - (M??? - M?) h?/6
7. 構造線性方程組
由一階導數連續性條件 b? + 2c?h? + 3d?h?2 = b???，代入 b?、c?、d?表達式：
[(y??? - y?)/h? - (M?h?)/2 - (M??? - M?)h?/6] + 2*(M?/2)h? + 3[(M??? - M?)/(6h?)]*h?2 = (y??? - y???)/h??? - (M???h???)/2 - (M??? - M???)h???/6
化簡后得到：
h?M? + 2 (h? + h???) M??? + h???M??? = 6 [(y??? - y???)/h??? - (y??? - y?)/h?]
這是一個關于 M?的三對角線性方程組，需要結合邊界條件求解。
7.參考文獻
[1]劉竹青,陳亮,李涌睿,等.基于三次樣條插值改進的ω-k算法在FPGA上的實現方法:202411954944[P][2025-07-05].
8.算法完整程序工程
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