利用R包mice實現的鏈式方程多重插補方法來插補缺失的數據。

所有多重插補方法都遵循三個步驟

插補——與單次插補類似，對缺失值進行插補。但是，插補值會從分布中提取m次，而不是僅提取一次。此步驟結束時，應該有m 個完整的數據集。
分析——對m個數據集進行逐一分析。此步驟結束時，應該有m個分析結果。
池化——通過計算關注變量的平均值、方差和置信區間，或組合各個獨立模型的模擬結果，將m個結果合并為一個結果。

為什么要多重插補？

單次插補直接用某種方法填補缺失值，得到一個完整數據集，但忽略了插補值本身存在的不確定性，會低估標準誤，導致統計推斷過于樂觀。

多重插補通過多次（比如5次、10次）插補，生成多個完整數據集，反映了缺失值可能的多種合理取值，從而考慮了插補的不確定性。

鏈式方程多重插補（MICE）怎么做？

先對所有變量的缺失值初始化（比如用均值或隨機值填充），得到一個初步完整數據集。

逐個變量進行迭代插補，比如第1個變量的缺失值用其它變量的當前完整值建立回歸模型預測（如線性回歸、邏輯回歸、PMM等），插補預測值（加上隨機擾動）。

依次對第2個、第3個…變量做類似操作，每一輪完成一遍所有變量的插補。

這個過程迭代多次（比如20次），模型逐漸穩定。

每一次迭代的最終結果就是一個完整數據集，重復m次（默認5次）得到多個完整數據集。

隨機性的來源在哪里？

每次變量插補時，不是簡單用回歸預測值，而是用帶隨機誤差的預測值，比如PMM（預測均值匹配）會隨機從訓練樣本中選取一個類似的真實值來填補。

這種“隨機擾動”保證了插補值的多樣性，使得多組插補結果反映了缺失值潛在的真實變異。

同時，在初始化、模型擬合、抽樣步驟中都會引入隨機性，保證不同插補數據集的差異。

什么是 PMM（預測均值匹配）？

在 MICE 多重插補中，PMM 是一種常用的插補方法，它不直接使用回歸預測值，而是找一個“相似的人”來“借值”填補缺失。
例子
假設你現在有個變量是認知分數（比如“記憶得分”），有些人沒填。
你要為“小明”插補一個記憶得分，他的其它信息是：
年齡：40
教育年限：16年
BMI：23
其他認知指標：都正常

你用這些變量訓練了一個回歸模型來預測“記憶得分”。
回歸模型告訴你：“小明的記憶得分大概是 78.3”。
但你不會直接填 78.3。
PMM 怎么做呢？
找到所有“非缺失者”（有真實記憶得分的人），用同一個模型去預測他們的得分。
得到每個人的“預測得分”和他們的真實得分（比如：預測=78.0，真實=80）。
從中選出預測得分最接近 78.3 的幾個“鄰居”（通常是5個）。
從這幾個鄰居的“真實得分”中隨機抽一個來給小明用，比如抽到的是“80”，那小明就插補為 80。

所以隨機來自：

1. “鄰居”中隨機選一個真實值填進去；
2. 整個插補過程本身也有隨機擾動（不同種子、初始化方式）；
   插補每個數據集時都獨立進行，因此你得到了5個（默認）不完全一樣的版本。

分別對5個數據集進行了檢驗，并應用Rubin規則匯集了5個數據集中的參數估計值。

參考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Imputation_(statistics)