在線性代數中，線性相關和線性無關是刻畫向量組性質的核心概念，以下是關于它們的重要結論總結：

一、基本定義與核心判定

1. 線性相關的定義
   向量組 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m\} {α1?,α2?,…,αm?} 線性相關，當且僅當存在不全為零的實數 $k_1,k_2,\dots ,k_m$

2. 線性無關的定義
   向量組 { α 1 , α 2 , … , α m } \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m\} {α1?,α2?,…,αm?} 線性無關，當且僅當僅當 $k_1=k_2=?=k_m=0$ 時

3. 單個向量的情形

   • 單個向量 $\alpha$ 線性相關 $?\alpha =0$；
   • 單個向量 $\alpha$ 線性無關 $?\alpha \ne 0$。

4. 兩個向量的情形
   兩個向量 $\alpha ,\beta$ 線性相關 $?\alpha$ 與 $\beta$ 成比例（即存在實數 $k$ 使得 $\alpha =k\beta$ 或 $\beta =k\alpha$）。

二、向量組相關性的基本性質

1. 部分與整體的關系

   • 若向量組的某個部分組線性相關，則整個向量組線性相關（部分相關 $?$ 整體相關）；
   • 若整個向量組線性無關，則其任意部分組線性無關（整體無關 $?$ 部分無關）。

2. 含零向量的向量組
   若向量組中包含零向量，則該向量組必線性相關。

3. 向量個數與維度的關系

   • 在 $n$ 維向量空間中，任意 $n+1$ 個向量必線性相關（向量個數超過維度必相關）；
   • $n$ 維向量空間中，線性無關的向量組最多含 $n$ 個向量。

4. 線性表示與相關性

   • 向量組 { α 1 , … , α m } \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\} {α1?,…,αm?} 線性相關 $?$ 至少存在一個向量可由其余向量線性表示；
   • 向量組 { α 1 , … , α m } \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\} {α1?,…,αm?} 線性無關 $?$ 任意向量都不能由其余向量線性表示。

5. 添加/刪除向量的影響

   • 若向量組線性無關，添加新向量后可能變為相關；
   • 若向量組線性相關，刪除某個向量后可能變為無關（需保留極大無關組）。

6. 添加/刪除分量的影響

   • 若 $n$ 維向量組線性無關，將每個向量添加 $k$ 個分量（擴展為 $n+k$ 維）后仍線性無關（無關組擴展分量仍無關）；
   • 若 $n$ 維向量組線性相關，刪除每個向量的 $k$ 個分量（壓縮為 $n?k$ 維）后仍線性相關（相關組壓縮分量仍相關）。

三、與矩陣秩、行列式的關系

1. 矩陣秩的視角
   設向量組 { α 1 , … , α m } \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\} {α1?,…,αm?} 構成矩陣 $A=[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m]$，則：

   • 向量組線性相關 $?\text{秩}(A)<m$；
   • 向量組線性無關 $?\text{秩}(A)=m$。

2. 行列式的應用（方陣情形）
   若 $n$ 個 $n$ 維向量構成方陣 $A$，則：

   • 向量組線性相關 $?|A|=0$；
   • 向量組線性無關 $?|A|\ne 0$。

3. 極大線性無關組
   向量組的極大線性無關組所含向量個數等于該向量組的秩；線性無關組的極大無關組即為其本身。

四、向量組之間的線性表示與相關性

1. 替換定理（Steinitz定理）
   若向量組 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1, \dots, \alpha_r\} {α1?,…,αr?} 線性無關，且可由向量組 { β 1 , … , β s } \{\beta_1, \dots, \beta_s\} {β1?,…,βs?} 線性表示，則 $r\le s$。

2. 秩的比較
   若向量組 $A$ 可由向量組 $B$ 線性表示，則 $A$ 的秩 $\le B$ 的秩。

3. 等價向量組的秩
   若兩向量組等價（可互相線性表示），則它們的秩相等。

五、與線性方程組的聯系

1. 齊次方程組的解向量
   齊次線性方程組 $Ax=0$ 的解向量組：

   • 僅有零解 $?A$ 的列向量組線性無關；
   • 有非零解 $?A$ 的列向量組線性相關。

2. 基礎解系的性質
   若 $Ax=0$ 的系數矩陣秩為 $r$，則其基礎解系含 $n?r$ 個線性無關的解向量，且所有解可由基礎解系線性表示。

六、線性空間中的基與相關性

1. 基的定義
   線性空間的基是一組線性無關且能生成整個空間的向量組，基中向量個數等于空間的維度。

2. 基的擴充
   若 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1, \dots, \alpha_r\} {α1?,…,αr?} 是線性空間 $V$ 中的線性無關組，且 $r<\dim V$，則可擴充為 $V$ 的一組基。

七、重要推論與典型結論

1. 標準單位向量組
   $n$ 維標準單位向量組 { ε 1 , ε 2 , … , ε n } \{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n\} {ε1?,ε2?,…,εn?} 線性無關，且是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一組基。

2. 線性無關組的線性組合
   若 { α 1 , … , α m } \{\alpha_1, \dots, \alpha_m\} {α1?,…,αm?} 線性無關，且 $\beta =k_1{\alpha }_1+?+k_m{\alpha }_m$，則表示系數唯一。

3. 向量組相關性的傳遞性
   若向量組 $A$ 線性無關，向量組 $B$ 可由 $A$ 線性表示且 $|B|>|A|$，則 $B$ 必線性相關。

以上結論覆蓋了線性相關與線性無關的核心性質，從定義、判定到與矩陣、方程組、線性空間的聯系，是線性代數理論體系的重要基礎。實際應用中，可通過秩的計算、方程組求解或線性表示關系來判斷向量組的相關性。