Python 數學公式與函數大全

Python 提供了豐富的數學計算支持，包括內置函數、標準庫（math、cmath、numpy）和第三方庫（sympy、scipy）。以下是常用數學公式和函數的分類整理：

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1. 基本數學運算

1.1 算術運算

運算符/函數	描述	示例
+, -, *, /	加減乘除	3 + 2 → 5
//	整除	7 // 2 → 3
%	取模（余數）	7 % 2 → 1
**	冪運算	2 ** 3 → 8
abs(x)	絕對值	abs(-5) → 5
pow(x, y)	冪運算（等價于 x ** y）	pow(2, 3) → 8
round(x, n)	四舍五入（n 位小數）	round(3.14159, 2) → 3.14

1.2 分數與小數

from fractions import Fraction
from decimal import Decimal# 分數運算
a = Fraction(1, 3)  # 1/3
b = Fraction(1, 2)  # 1/2
print(a + b)  # 輸出: 5/6# 高精度小數
c = Decimal('0.1') + Decimal('0.2')
print(c)  # 輸出: 0.3（避免浮點誤差）

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2. 數學函數庫（math 和 cmath）

2.1 基本函數

函數	描述	示例
math.sqrt(x)	平方根	math.sqrt(4) → 2.0
math.exp(x)	自然指數（exe**x）	math.exp(1) → 2.718...
math.log(x, base)	對數（默認自然對數）	math.log(8, 2) → 3.0
math.log10(x)	以 10 為底的對數	math.log10(100) → 2.0

2.2 三角函數

函數	描述	示例
math.sin(x)	正弦（弧度制）	math.sin(math.pi/2) → 1.0
math.cos(x)	余弦	math.cos(0) → 1.0
math.tan(x)	正切	math.tan(math.pi/4) → 1.0
math.degrees(x)	弧度轉角度	math.degrees(math.pi) → 180.0
math.radians(x)	角度轉弧度	math.radians(180) → 3.14159...

2.3 復數運算（cmath）

import cmathz = 1 + 2j
print(cmath.sqrt(z))  # 輸出: (1.272...+0.786...j)
print(cmath.phase(z))  # 輻角（弧度）

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3. 高級數學庫（numpy 和 scipy）

3.1 線性代數（numpy）

import numpy as np# 矩陣運算
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(A @ B)  # 矩陣乘法# 特征值與特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

3.2 科學計算（scipy）

from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import minimize# 數值積分
result, error = quad(lambda x: x**2, 0, 1)  # ∫x2 dx (0→1)
print(result)  # 輸出: 0.333...# 優化問題
res = minimize(lambda x: (x[0]-1)**2 + (x[1]-2)**2, x0=[0, 0])
print(res.x)  # 最優解: [1.0, 2.0]

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4. 符號計算（sympy）

用于解析數學公式（如求導、積分、解方程）：

from sympy import symbols, diff, integrate, solvex, y = symbols('x y')
expr = x**2 + 2*x + 1# 求導
print(diff(expr, x))  # 輸出: 2*x + 2# 積分
print(integrate(expr, x))  # 輸出: x**3/3 + x**2 + x# 解方程
solution = solve(x**2 - 4, x)
print(solution)  # 輸出: [-2, 2]

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5. 統計與概率

5.1 隨機數（random）

import randomprint(random.random())  # [0, 1) 隨機浮點數
print(random.randint(1, 10))  # 1~10 隨機整數

5.2 統計計算（statistics）

from statistics import mean, median, stdevdata = [1, 2, 3, 4, 5]
print(mean(data))  # 平均值: 3.0
print(stdev(data))  # 標準差: 1.581...

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6. 特殊函數

函數	描述	示例
math.gamma(x)	Gamma 函數	math.gamma(5) → 24.0
math.erf(x)	誤差函數	math.erf(1) → 0.842...
scipy.special.besselj(n, x)	貝塞爾函數	需安裝 scipy

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總結

需求	推薦庫	示例
基本運算	內置函數	abs(-5)
三角函數/對數	math	math.sin(math.pi)
復數運算	cmath	cmath.sqrt(-1)
矩陣運算	numpy	np.linalg.inv(A)
符號計算	sympy	solve(x**2 - 1, x)
科學計算	scipy	scipy.integrate.quad

掌握這些工具后，你可以輕松實現從基礎算術到復雜科學計算的各類數學任務！ 🚀