RC 低通濾波器電路

最常見的一階低通濾波器是 RC 電路，如下所示：

Vin ────[ R ]────┬──── Vout│=== C│GND

一階線性微分方程推導

• 根據電路的基爾霍夫定律（KCL）和電容的電壓-電流關系：

  • 電容電流：$i_C=C?\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}$
  • 電阻電流：$i_R=\frac{V_{\text{in}}?V_{\text{out}}}{R}$

• 因為串聯，$i_C=i_R$，所以：

$$C?\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}=\frac{V_{\text{in}}?V_{\text{out}}}{R}$$

• 整理為標準一階微分方程y’+p(x)y=q(x)形式：

$$\frac{d{V}_{\text{out}}}{dt}+\frac{1}{RC}{V}_{\text{out}}=\frac{1}{RC}{V}_{\text{in}}$$

• 記 $\tau =RC$，即：

$$\tau ?\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

• 其中：

  • $y(t)=V_{\text{out}}$：濾波器輸出；
  • $x(t)=V_{\text{in}}$：濾波器輸入；
  • $\tau =RC$：時間常數，單位為秒，𝜏表示系統響應變化的快慢程度。
    • 注：對于一階系統（例如 RC 電路、熱傳導、液位控制、機械阻尼、速度響應等），系統對一個階躍輸入信號（如電壓從 0 變為 1V）的響應，在經過時間 𝜏 后，輸出達到最終穩態值的約 63.2%。表示系統輸出 $y(t)$ 跟隨輸入 $x(t)$，但有慣性，不能瞬間響應。 $\tau$ 越小 → 響應快，$\tau$ 越大 → 響應慢，更平滑。

拉普拉斯域表達（傳遞函數）

$$\tau ?\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

• 對其兩邊做拉普拉斯變換，假設 初始值為零（零初始條件），即 $y(0)=0$，得到：

τ ? L { d y ( t ) d t } + L { y ( t ) } = L { x ( t ) } \tau \cdot \mathcal{L} \left\{ \frac{dy(t)}{dt} \right\} + \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{x(t)\} τ?L{dtdy(t)?}+L{y(t)}=L{x(t)}

• 利用 一階導數的拉普拉斯變換 公式：

$$\tau (sY(s)?y(0))+Y(s)=X(s)$$

• 假設 $y(0)=0$ ：

$$\tau sY(s)+Y(s)=X(s)$$

• 提取 $Y(s)$：

$$Y(s)(\tau s+1)=X(s)$$

傳遞函數 $H(s)$

$$\boxed{H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{\tau s+1}}$$

• 或者換成 RC 表達：

$$\boxed{H(s)=\frac{1}{RCs+1}}$$

頻率響應（令 $s=j\omega$）

• 代入 $s=j\omega$ 就描述了系統對頻率為 $\omega$ 的正弦輸入的穩態響應

$$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\omega \tau }$$

幅頻特性：

$$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega \tau {)}^2}}$$

相位特性：

$$\arg H(j\omega )=?{\tan }^{?1}(\omega \tau )$$

Bode 圖（線性系統頻率響應）

• 注：在電路筆記(信號)：數字濾波電路的拉普拉斯變換與零極點分析(增益=零點距/極點距，相位=零點角-極點角)的用零極點圖分析電路中提供了一個RC高通的Bode圖估計示例。

• 注：繪制代碼如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 參數設置
tau = 0.05  # 時間常數 (s)
w = np.logspace(0, 4, 500)  # 頻率向量 (rad/s)
mag = 20 * np.log10(1 / np.sqrt(1 + (w * tau)**2))  # 幅度響應
phase = -np.degrees(np.arctan(w * tau))            # 相位響應# 截止頻率
wc = 1 / tau
fc = wc / (2 * np.pi)# 繪圖
plt.figure(figsize=(10, 6))# 幅度圖
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.axvline(wc, color='red', linestyle='--', label=f'Cutoff @ {fc:.1f} Hz')
plt.title('Bode Plot of 1st-Order Low-Pass Filter')
plt.ylabel('Magnitude (dB)')
plt.grid(True, which='both')
plt.legend()# 相位圖
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.axvline(wc, color='red', linestyle='--')
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (degrees)')
plt.grid(True, which='both')plt.tight_layout()
plt.show()