在三維幾何變換中，齊次變換矩陣相乘是實現復雜變換的核心方法。本文將通過一個包含四個變換步驟的完整示例，深入探討齊次變換矩陣左乘和右乘的區別，并結合 Python sympy 庫的代碼實現，詳細闡述變換過程和結果差異。

二維齊次坐標的旋轉變換

在二維齊次坐標系中，一個點可以表示為 [\begin{bmatrix}x\ y\ 1\end{bmatrix}]。為了實現旋轉變換，可以使用擴展后的旋轉矩陣。假設繞原點逆時針旋轉 θ 角度，旋轉矩陣為：

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & ?\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

當我們用這個矩陣作用于齊次坐標點 [\begin{bmatrix}x\ y\ 1\end{bmatrix}] 時，可以得到旋轉后的點：

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & ?\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta ?y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \\ 1\end{array}\right]$$

如果是順時針旋轉 θ 角度，只需要將 θ 替換為 -θ，得到的旋轉矩陣為：

$$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ ?\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

三維齊次坐標的旋轉變換

在三維齊次坐標系中，一個點可以表示為 [\begin{bmatrix}x\ y\ z\ 1\end{bmatrix}]。對于繞不同軸的旋轉：

繞 x 軸旋轉（逆時針方向）

旋轉矩陣為：

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \theta & ?\sin \theta & 0\\ 0& \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

旋轉后的點為：

$$[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & ?\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \\ 0& 0& 0\end{array}$$