-
集合（Set）—— 最基礎的數學容器
定義：
集合是由確定的、互不相同的對象（稱為元素）組成的整體。
表示方法：
列舉法：A = {1, 2, 3}
描述法：B = {x | x > 0}（表示所有大于0的實數）
例子：
股票價格集合：{10.2, 11.5, 9.8}
AI中的特征集合：{年齡, 收入, 學歷}
重要概念：
空集?：不含任何元素的集合
子集：若A的所有元素都屬于B，則A是B的子集（記作A?B） -
映射（Mapping）—— 元素之間的對應規則
定義：
對于兩個集合X和Y，映射f是從X到Y的對應規則，要求：
確定性：X中每個元素x，有且只有一個y∈Y與之對應
記法：f: X→Y 或 x ? y = f(x)
類型
單射（注射）：不同x對應不同y
滿射：Y中每個y都有x對應
雙射：既是單射又是滿射（可逆）
生活例子：
學生學號→成績：是映射（一個學號對應一個成績）
股票代碼→當前價格：是映射
-
函數（Function）—— 數集到數集的映射
定義：
當映射的輸入（定義域）和輸出（值域）都是實數集時，稱為函數。
表達式：y = f(x)
定義域：所有合法輸入的x的范圍
值域：所有可能的輸出y
例子：
線性函數：f(x) = 2x + 1
股價函數：P(t) = 100 + 5sin(t)（模擬周期性波動） -
函數的構造方法
(1) 四則運算：
f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x)（分母≠0）
(2) 復合函數：
f°g(x) = f(g(x))
AI中的應用：
神經網絡就是多層復合函數
(3) 反函數：
若f是雙射，則存在f?1滿足f?1(f(x)) = x
例子：
y = e^x 的反函數是 x = ln y
-
六大基本初等函數（必須背熟的數學工具）
函數類型 表達式 圖像特征 應用場景
冪函數 y = x^a 過(1,1)點 量化中的波動率建模
指數函數 y = a^x 爆炸增長/衰減 AI的激活函數、復利計算
對數函數 y = log?x 緩慢增長 交叉熵損失、對數收益率
三角函數 y = sin(x) 周期性波動 價格周期分析
反三角函數 y = arcsin(x) 有限定義域 信號處理
常數函數 y = C 水平直線 基準收益率 -
函數的四大性質
(1) 有界性：
定義：存在M>0，使|f(x)|≤M對所有x∈定義域成立
AI意義：限制神經網絡輸出范圍（如Sigmoid將輸出壓縮到(0,1)）
(2) 單調性：
遞增：x? < x? ? f(x?) < f(x?)
遞減：x? < x? ? f(x?) > f(x?)
量化意義：確保交易信號方向一致性
(3) 奇偶性：
奇函數：f(-x) = -f(x)（如y=x3）
偶函數：f(-x) = f(x)（如y=x2）
應用：簡化計算（對稱區間積分）
(4) 周期性：
定義：存在T≠0，使f(x+T)=f(x)
量化應用：發現商品的季節性規律
