最近在論文大修2024年投稿的一篇文章，大修了2輪，最后一次還是重新投稿，其中有一個問題一直被審稿人懟，他認為我計算時間序列的趨勢的時候，沒有考慮時間的相關性，即對噪聲模型的估計不合理，會影響對趨勢和其不確定度的估計。我之前從來沒意識到這個問題：

要用最小二乘法（Least Squares）估計一個時間序列的趨勢及其不確定度，你可以將時間序列擬合為一個線性模型：

（1）最小二乘估計（OLS）

假設有?nn個數據點?(ti,yi)(ti?,yi?)，可以構造設計矩陣：

（2）估計不確定度（標準誤）

python 代碼：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模擬數據
t = np.arange(0, 10, 1) ?# 年份
y = 2.0 + 0.3 * t + np.random.normal(0, 0.2, len(t)) ?# 加上噪聲

# 構造設計矩陣
X = np.vstack([np.ones(len(t)), t]).T

# 最小二乘解
beta_hat = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y
a, b = beta_hat

# 殘差與方差
residuals = y - X @ beta_hat
sigma2 = np.sum(residuals**2) / (len(t) - 2)
cov_beta = sigma2 * np.linalg.inv(X.T @ X)
b_std = np.sqrt(cov_beta[1, 1])

print(f"趨勢估計：{b:.4f} ± {b_std:.4f} (單位/年)")
?

但是實際上上述是假設殘差是符合正態分布，而實際上很多地球物理的觀測結果是存在有色噪聲影響的。因此用上述的程序計算的結果是否合理需要評估。

在我這次的論文大修中，審稿人給我推薦了兩個有用的處理工具：

HECTOR?或?estnoise?這兩款工具 —— 它們都易于使用，且免費提供，可以在回歸參數估計的同時估算隨機特性。需要注意的是，HECTOR 還支持估計時變的季節信號，這在某些研究中可能具有參考價值。但如果作者堅持使用縮放方法，那就必須以穩健的方式來執行。

• Hector - TeroMovigo

• https://www.usgs.gov/node/279390

在這里我推薦使用Hector，因為這個可以估算時變的季節性信號。而我們的時間許多很多是有季節性變化的。

（3）Hector介紹

Hector?是一款開源的學術軟件包，專為在時間序列數據中估計軌跡模型（如含年度信號的線性趨勢）而設計，尤其適用于存在時間相關噪聲的情況。在地球物理研究中，軌跡估計至關重要，因為我們關注的現象往往包括氣溫上升、由氣候變化引起的海平面上升、以及由地殼垂向運動或構造板塊運動引起的位置變化等。在這類時間序列中，噪聲通常具有時間相關性，這會顯著影響線性趨勢估計的精度，因此推薦使用像 Hector 這樣的程序工具。Hector 假設用戶預先了解其觀測數據中可能存在的時間相關噪聲類型，并通過最大似然估計（MLE）方法同時估計線性趨勢和所選噪聲模型的參數。Hector 由 TeroMovigo 團隊開發和維護，旨在為學術界持續提供支持。有關其底層方法的詳細介紹，可參考著作?《Geodetic Time Series Analysis in Earth Sciences》。此外，還有一些其他知名程序可用于類似任務，如?CATS?和?est_noise。已有研究對 Hector 和 est_noise 進行了廣泛比較，結果表明兩者在輸出結果上高度一致。如果你在學術出版物中使用 Hector，請引用以下文獻以致謝：Bos, M.S., Fernandes, R.M.S., Williams, S.D.P., and Bastos, L. (2013).
Fast Error Analysis of Continuous GNSS Observations with Missing Data.?Journal of Geodesy, 87(4), 351–360.doi:?10.1007/s00190-012-0605-0

這個軟件在Linux系統是可以直接運行下載的程序包，而本人使用的mac系統只能自己編譯源代碼

Hector 軟件包主要設計用于在類 Unix 操作系統（如 Linux 或 macOS）上運行。如果你不想使用預編譯的靜態可執行文件，也可以自行編譯源代碼。在這種情況下，需要同時安裝?Boost、FFTW3?和?OpenBLAS?等庫。對于 Mac 用戶，可以使用 **Xcode（clang 編譯器）**和?Homebrew?來編譯源代碼。如需下載最新版本（2.1）的靜態可執行文件（適用于多種 Linux 發行版）、源代碼與示例數據、Python 3 腳本或使用手冊，請點擊以下鏈接：

??hector_2.0_OL8.tar.bz2 (Oracle Linux 8)
??hector_2.0_SL7.tar.bz2 (Scientific Linux 7)
??hector_2.0_Ubuntu18.04.tar.bz2 (Ubuntu 18.04 LTS)
??hector_2.0_Ubuntu20.04.tar.bz2 (Ubuntu 20.04 LTS)
??hector_2.0_Ubuntu21.04.tar.bz2 (Ubuntu 21.04)
??hector_2.1_Ubuntu20.04.tar.bz2 (Ubuntu 20.04 LTS)
??hector_2.1_Ubuntu21.04.tar.bz2 (Ubuntu 21.04)
??hector_2.1_Ubuntu22.04.tar.bz2 (Ubuntu 22.04 LTS)
??hector-2.1_CentOS7.tar.bz2 (CentOS7)
??hector-2.1_CentOS9.tar.bz2 (CentOS9)
??source code hector-2.0
??source code hector-2.1
??Python3 scripts hector-2.0
??Python3 scripts hector-2.1
??examples
??manual hector-2.0
??manual hector-2.1

（4）Hector使用

如果在Linux中，可以直接運行程序

而在mac系統中，則需要先安裝一個Docker，配置一個linux環境

1?? 安裝 Docker Desktop

前往官網下載安裝：

🔗?https://www.docker.com/products/docker-desktop/

安裝后打開 Docker，確保狀態欄圖標為綠色，表示運行正常。

2?? 創建一個 Linux 容器（如 Ubuntu）

docker pull ubuntu:22.04

然后啟動一個交互式容器：

docker run -it --name hector_env ubuntu:22.04

第一次運行會進入 Linux shell，類似 Ubuntu 終端環境。

執行數據處理命令：

./estimatetrend estimatetrend.ctl

可以得到以下的結果：

后續還可以估計時間序列的頻譜信號特征，以及建模的信號特征：

./estimatespectrum estimatespectrum.ctl

./modelspectrum modelspectrum.ctl

更具體的處理流程需要參見說明手冊。

??歡迎點贊收藏??