2025數維杯數學建模競賽B題完整參考論文

目錄

摘要?

一、問題重述?

二、問題分析?

三、模型假設?

四、定義與符號說明?

五、 模型建立與求解?

5.1問題1?

5.1.1問題1思路分析?

5.1.2問題1模型建立?

5.1.3問題1求解結果?

5.2問題2?

5.2.1問題2思路分析?

5.2.2問題2模型建立?

5.2.3問題2求解結果?

5.3問題3?

5.3.1問題3思路分析?

5.3.2問題3模型建立?

5.3.3問題3求解結果?

5.4問題4?

5.4.1問題4思路分析?

5.4.2問題4模型建立?

5.4.3問題4求解結果?

六、 模型推廣?

附錄1問題1代碼?

附錄2問題2代碼?

附錄3問題3代碼?

附錄4問題4代碼?

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摘要

針對馬拉松賽事的優化問題，本文結合氣象條件、城市承載能力、參賽者需求和交通流量，提出了一種綜合性的賽事規劃與優化模型。首先，針對問題1，我們綜合考慮氣象適宜性、城市承載能力、人口規模及報名熱度等因素，采用多目標優化方法科學篩選賽事窗口期、比賽時間、賽事規模與頻次；針對問題2，我們通過西安市的基礎數據，運用圖論和最短路徑算法，設計了符合賽道要求的起點-終點組合，并優化了賽道的樹蔭覆蓋率、補給站設置與坡度；針對問題3，我們設計了一個多目標優化算法，結合樹蔭覆蓋、交通影響、賽道坡度等因素生成若干候選賽道方案，以提升選手舒適度并減少對城市交通的干擾；針對問題4，我們結合歷史成績數據和參賽組別，設計了差異化的紀念品兌換方案，并提供了賽前模擬排名工具，幫助參賽者制定合理的獎勵方案。

對于問題1，我們首先建立了氣象、交通、報名熱度等因素的綜合評估模型，采用多目標優化方法篩選出最佳賽事窗口期。通過對歷史數據的分析，我們利用數學模型預測賽事規模和頻次，并得出最優的城市選擇與賽事安排方案。利用MATLAB進行求解，我們獲得了針對不同城市的最佳賽事時間和頻次安排。

對于問題2，我們以西安市為例，首先收集了景點、住宿設施、餐飲設施等數據，構建了賽道優化模型。在模型中，我們結合了容量權重和路網密度，采用Dijkstra算法篩選出最優的起點-終點組合，并進一步優化賽道路徑。最終，利用GIS軟件繪制了最優賽道圖，并驗證了其符合國際馬拉松標準的要求。

對于問題3，我們采用了多目標優化算法，平衡樹蔭覆蓋、交通影響、坡度等因素，設計了多個候選賽道方案，并提出了基于舒適度評分和交通流量的科學性評估指標。通過模擬氣象數據和賽道設計，我們優化了賽道走向，減少了高溫時段暴露于陽光下的距離，從而提升了選手的整體舒適度。

對于問題4，我們設計了差異化的紀念品兌換方案，結合參賽組別和歷史成績，提出了多層次獎勵機制，并構建了賽前模擬排名工具。通過結合參賽者的預期成績，我們為不同成績組別的參賽者提供了定制化的獎勵方案，進一步激勵參賽者提升成績。

在優化過程中，針對不同城市和賽事特點，我們對模型進行了適當的修改與優化。根據賽道數據和歷史成績的變化，我們提出了新的獎勵機制和賽事安排建議，這種優化模型具有廣泛的適應性，并能為未來的賽事規劃提供有效的支持。

關鍵詞：多目標優化；賽道設計；紀念品兌換；交通優化；賽事窗口期

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一、問題重述

問題1 重述

問題1的目標是選擇合適的數據集，并綜合考慮多個核心因素來科學地篩選中國主要城市的馬拉松賽事窗口期，以及合理確定比賽時間、賽事規模與頻次。關鍵的考慮因素包括氣象適宜性、城市承載能力、人口規模和報名熱度等。氣象適宜性主要指天氣條件，如溫度和降水量，它直接影響賽事的舉辦時機。城市承載能力反映了城市在舉辦大規模賽事時所能提供的基礎設施和服務能力。人口規模和報名熱度則通過歷史數據來預測賽事的規模和參賽者的增長趨勢。通過對這些因素的綜合分析，能夠為每個城市選擇一個最適合的賽事窗口期，進而優化賽事的時間安排和規模，以確保賽事的順利進行。

問題2 重述

問題2要求以西安市為例，基于該市的基礎數據中的景點和住宿設施坐標集，設計一個優化的賽道方案。首先，需要建立一個評價函數，考慮節點的容量權重與鄰近路網密度，并通過圖形化展示來劃分服務范圍。目標是篩選出最優的起點-終點組合，保證賽道的總距離大于或等于42公里，并且起點3000米范圍內的住宿容量大于等于3000人。同時，起點和終點應毗鄰軌道交通站點。其次，將景點視為必經節點集，餐飲設施作為增益節點，設計一個符合國際馬拉松標準的閉合回路。賽道設計需要滿足坡度不超過5%的限制，每5公里設置一個補給站，并要求補給站靠近餐飲設施，以最大化選手的增益值和賽事體驗。

問題3 重述

問題3在問題2的基礎上，要求構建一個綜合評估體系，旨在提升選手的舒適度，并減少對城市交通的干擾。在設計賽道時，需要量化賽道沿線的樹蔭覆蓋率，并結合氣象數據優化賽道走向，以減少選手在高溫時段暴露于直射陽光下的距離。具體地，需要設計一個多目標優化算法，在樹蔭覆蓋、交通影響和賽道坡度等多個因素之間進行平衡，生成若干候選賽道方案。此外，需要提出評估賽道科學性的量化指標，以確保所設計的賽道既符合賽事標準，又能為參賽者提供最佳的舒適度和體驗，同時不會對城市交通產生過大的影響。

問題4 重述

問題4要求基于馬拉松賽事的主題，設計具有收藏價值的限定紀念品，并結合參賽組別和成績排名設置差異化的兌換權益。具體地，需要為不同的參賽組別設計合適的獎勵方案，確保獎勵與參賽者的表現和組別相匹配。通過優化年齡分組規則（如按5歲間隔細分組別），并結合歷史成績數據預測各組別的競爭激烈程度，可以為每個組別設定合理的獎品和獎勵方式。此外，還需要設計一個賽前模擬排名工具，幫助參賽者了解自己的預期成績和排名，從而為他們提供更合理的獎勵方案，并激勵他們提升成績。

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二、問題分析

問題1 分析

在問題1中，我們的目標是選擇合適的數據集并綜合考慮氣象適宜性、城市承載能力、人口規模及報名熱度等核心要素，科學篩選出中國主要城市的馬拉松賽事窗口期，并合理確定比賽時間、賽事規模與頻次。首先，氣象適宜性是選擇賽事時間窗口的關鍵因素之一，氣候條件如氣溫、降水量和風速會影響參賽者的表現和安全性。因此，氣象數據必須精確且具有時效性，以預測最佳的賽事舉行時段。城市承載能力與人口規模則直接影響賽事規模的選擇，城市的交通、住宿、醫療等基礎設施必須能夠承載一定數量的參賽者。報名熱度，主要由歷史報名人數及其增長率體現，是決定賽事頻次和規模的重要依據。通過對這些因素的綜合分析，結合城市的特性和需求，能夠科學確定最佳的賽事時間和規模安排。

問題2 分析

問題2的核心是基于西安市的基礎數據進行賽道設計，包括選擇最優的起點和終點組合，并對賽道的其他條件進行優化。問題的第一部分要求我們建立一個評價函數，考慮容量權重與鄰近路網密度，選擇最合適的起點和終點組合。此部分的挑戰在于如何精確地衡量城市設施的容量（如住宿設施）與交通網絡的密度，以及如何通過地圖數據和地理信息系統（GIS）工具進行可視化和優化。第二部分要求將景點抽象為必經節點，餐飲設施作為增益節點，設計一個符合國際馬拉松要求的閉合回路。在此過程中，我們需要平衡多個因素，包括賽道的坡度、補給站的設置、餐飲設施的分布等。賽道的坡度不得超過5%，并且每5公里必須設置一個補給站，同時補給站需鄰近餐飲設施，保證選手的飲食補給需求。通過這些優化，我們能夠提供一個既符合比賽要求，又能最大化參賽者體驗的賽道方案。

問題3 分析

問題3要求我們在問題2的基礎上構建一個綜合評估體系，提升選手舒適度并減少對城市交通的干擾，特別是考慮如何量化分析賽道沿線的樹蔭覆蓋率，并結合氣象數據優化賽道走向，以減少選手在高溫時段暴露于陽光下的距離。樹蔭覆蓋率是影響選手舒適度的重要因素，尤其在氣溫較高的時段，樹蔭可以有效減少太陽直射和高溫對選手的影響。結合氣象數據，我們可以優化賽道走向，選擇樹蔭覆蓋較好的區域。為了達到這個目標，我們需要設計一個多目標優化算法，綜合考慮樹蔭覆蓋、交通影響、賽道坡度等因素。在該算法中，樹蔭覆蓋應當最大化，交通干擾應最小化，而坡度要保持在適宜范圍內。通過生成若干候選路線方案，我們可以依據多個科學性量化指標（如舒適度評分、交通流量、坡度等）對賽道進行評估，并最終選擇最佳賽道方案。

問題4 分析

問題4的核心在于設計具有收藏價值的限定紀念品，并結合參賽組別、成績排名設置差異化兌換權益。紀念品設計不僅需要滿足賽事主題的要求，還要考慮其收藏價值和吸引力。限定紀念品的設計應具有獨特性，可以根據賽事的歷史背景、城市特色等元素來定制，吸引參賽者的興趣。與此同時，根據參賽者的成績和組別，設置差異化的兌換權益，可以通過歷史成績數據預測不同組別的競爭激烈程度，優化獎勵分配。年齡分組規則的優化是關鍵，按照5歲為間隔進行細分，可以更加科學地平衡不同年齡段參賽者的競爭強度。歷史成績數據對于預測各組別的競爭激烈程度非常重要，借助這些數據，可以為參賽者提供一個賽前模擬排名工具，幫助他們了解自己的潛在排名，并制定合理的目標。同時，合理的獎勵方案可以激勵選手的參與熱情和表現。通過這些設計，我們不僅能夠優化賽事獎勵方案，還能提升賽事的整體吸引力和品牌價值。

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5.1.1問題1思路分析

1. 賽題背景分析

根據賽題背景，馬拉松賽事已經成為了重要的城市經濟活動，尤其在一些大城市中，馬拉松賽事的成功舉辦不僅帶來了顯著的經濟效益，還提升了城市品牌和文化影響力。然而，賽事的成功與否，離不開多個核心因素的協同作用，包括氣象條件、城市承載能力、人口規模、報名熱度等。因此，問題1的目標是通過綜合考慮這些要素，科學地篩選出適合舉辦馬拉松賽事的時間段、合理確定賽事的規模與頻次。

2. 數據集選擇與整合

要解決這一問題，首先需要從附件數據中選擇與氣象適宜性、城市承載能力、人口規模以及報名熱度相關的數據集。具體而言：

氣象數據（附件1）：氣溫、風速、降水量等因素直接影響馬拉松賽事的舉辦時機和選手的體驗，因此選擇合適的氣象數據（如年均氣溫、降水量、風速等）是至關重要的。

人口數據（附件3）與城市承載能力數據：城市的承載能力和人口規模是賽事舉辦的重要基礎。可以從人口密度和城市規模來推測馬拉松賽事的適應能力，包括城市的公共服務能力、交通承載能力以及醫療設施等。人口的年齡分布（如青年、中年群體的比例）也會影響報名人數和參與熱度。

軌道交通數據（附件2）：城市的交通便利程度直接影響賽事的承載能力與參賽者的出行便利性。通過分析城市軌道交通的客運量和密度，可以預估賽事期間交通的流量，從而優化賽事的時間和規模。

歷史報名數據（附件12）：通過分析各大城市的歷史報名數據，可以得出每年馬拉松賽事的報名熱度、參賽者增長趨勢及其影響因素，從而幫助我們預測未來馬拉松賽事的報名人數和規模。

3. 關鍵因素分析

要科學篩選賽事的窗口期、確定比賽時間、賽事規模和頻次，需要從以下幾個核心要素進行分析：

氣象適宜性：氣象條件直接影響賽事的舒適度與安全性。需要通過氣象數據判斷哪些季節和月份氣溫適宜、降水量較少，減少極端天氣對賽事的不利影響。可以通過分析每年不同月份的氣候數據，篩選出氣候最適宜舉辦馬拉松賽事的時段（例如溫度適中、降水少的春秋季節）。

城市承載能力：根據城市的基礎設施、交通網絡以及公共服務能力評估賽事的承載能力。需要結合軌道交通和人口密度數據，評估賽事期間城市的交通流量、人員聚集情況及其對城市正常運作的影響。如果交通壓力過大，可能需要選擇交通更為暢通的時段或采取相應的交通管理措施。

人口規模與結構：人口的規模和結構直接影響馬拉松的參賽人數和賽事的參與熱情。需要分析各大城市的人口總量和年齡結構，評估哪些城市有較大的馬拉松參與基礎，并預測未來幾年的報名人數增長趨勢。

報名熱度：通過歷史報名人數及其增長率的數據，分析馬拉松賽事的參與熱度和發展趨勢，判斷哪些城市的賽事受歡迎程度較高，哪些城市的賽事潛力較大。此外，還可以通過報名人數的變化規律，預測未來賽事的規模。

4. 模型構建與優化

綜合以上數據分析，下一步是構建一個數學模型，優化賽事窗口期、賽事規模和頻次的選擇。具體方法包括：

時間選擇優化：基于氣象適宜性和交通壓力，選擇最適合舉辦賽事的時間窗口。這可以通過建立一個多因素評價模型，綜合評估不同時間段的氣候和交通狀況。

賽事規模預測：根據歷史報名數據和城市人口規模，預測每個城市馬拉松賽事的參與人數及規模。可以運用回歸分析或時間序列分析方法，對未來幾年報名人數和賽事規模進行預測。

頻次選擇：確定每年應舉辦多少場馬拉松賽事，以及每場賽事的規模。可以通過分析歷史數據中的賽事頻率和報名人數的變化趨勢，確定最佳的賽事頻次。

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5.2.1問題2思路分析

1. 問題2的目標與約束

問題2主要分為兩個子問題，目標是為西安市設計一個優化的馬拉松賽事賽道。該賽道需要滿足一系列特定的約束條件，并通過優化模型選出最優的路線。具體來說，問題2包含兩個部分：

1. 部分（1）：選擇最優的起點和終點，滿足以下條件：

起點和終點之間的距離至少為42公里。

起點周圍3000米內的住宿容量大于或等于3000人。

起點和終點毗鄰軌道交通站點。

2. 部分（2）：在選擇賽道時，考慮景點和餐飲設施等因素，設計一個符合國際馬拉松標準（全馬、半馬、健康跑）的閉合回路：

賽道的坡度限制為5%以內。

每5公里設置一個補給站，且補給站需位于餐飲設施附近。

在選擇路徑時，考慮餐飲設施作為增益節點，每通過一個增益節點獲得0.2的增益。

2. 部分（1）: 選擇最優起點終點組合

目標：選擇兩個城市位置作為起點和終點，優化它們的組合，使其滿足比賽的各項要求。主要目標是：

確保路線距離滿足42公里的要求。

滿足起點附近的住宿容量要求，確保賽事期間有足夠的住宿容量供選手和觀眾使用。

起點和終點應當方便參賽選手的交通，確保它們都毗鄰軌道交通站點。

建模思路：

起點與終點的選擇：通過地理信息系統（GIS）技術，選擇合適的起點和終點。起點和終點應該位于西安市中心區域，并通過軌道交通站點進行連接。

路徑優化：在選擇好起點和終點后，可以通過圖論算法（如最短路徑算法、Dijkstra算法等）來計算起點與終點之間的最短路徑，確保路徑滿足42公里的最短距離要求。

住宿容量約束：使用西安市的住宿設施數據，確保起點3000米范圍內的住宿容量大于或等于3000人。

軌道交通要求：確保起點和終點都在軌道交通的站點附近，選擇合理的公共交通接入點，方便參賽選手和觀眾的出行。

3. 部分（2）: 設計閉合回路賽道

目標：設計一個符合國際馬拉松標準的閉合賽道，并在賽道選擇過程中，優化增益節點，最大化賽事體驗。賽道需要滿足以下條件：

全馬、半馬、健康跑標準：根據比賽的要求，賽道必須符合全馬、半馬或健康跑的距離要求。賽道設計應考慮到不同跑者的需求，可能需要根據賽事類型調整路線的長度。

坡度要求：賽道的坡度不能超過5%，這意味著在設計賽道時需要選擇地形平坦的道路。

補給站設置：每隔5公里設置一個補給站，并且補給站應盡量靠近餐飲設施，這樣可以為參賽選手提供及時的補給。通過餐飲設施作為增益節點，增加賽道的吸引力和參與感。

建模思路：

景點與餐飲設施的影響：景點可以作為賽道中的必經節點，而餐飲設施則可以作為增益節點。我們可以將這些設施作為圖的節點，使用圖論算法（例如旅行商問題算法）來尋找最優的賽道路徑。

增益計算：每經過一個餐飲設施，可以獲得一個增益值（+0.2）。在優化過程中，我們需要計算出不同路徑的增益，并選擇具有最大增益的賽道路徑。

路徑設計與坡度控制：在選擇路徑時，需要綜合考慮坡度限制（≤5%）和每5公里設置補給站的條件。可以結合地形數據（如西安市地形數據）來計算路徑的坡度，并確保選擇的路徑符合要求。

閉合回路設計：為了滿足國際馬拉松的賽道要求，設計的賽道必須是一個閉合回路，即起點和終點必須連通。可以使用最短路徑算法或模擬退火算法來尋找最佳的閉合回路路徑。

4. 綜合優化模型

綜合考慮上述所有因素，最終的目標是設計一個最優的賽道路線，最大化選手的體驗，并確保賽事的順利進行。可以通過多目標優化算法（如遺傳算法、粒子群優化等）來優化賽道的設計，平衡不同約束條件，如：

滿足全馬、半馬和健康跑的距離要求。

滿足坡度限制、補給站設置要求。

確保每條路徑的增益最大化，同時滿足住宿、交通等約束條件

5.4.1問題4思路分析

問題4主要包括兩部分內容，第一部分是設計具有收藏價值的限定紀念品，第二部分是優化參賽組別與成績排名設置，結合歷史成績數據提供合理的獎勵方案。我們將通過以下幾個步驟進行分析和建模：

1. 設計具有收藏價值的限定紀念品

目標：設計一款符合馬拉松賽事主題的限定紀念品，使其既有收藏價值，又能夠吸引參賽者的興趣。紀念品設計不僅需要具有馬拉松賽事的文化特點，還要考慮到其紀念價值和長期吸引力。

分析方法：

賽事主題與文化結合：首先，紀念品的設計需要與馬拉松賽事的主題緊密結合。例如，可以結合賽事舉辦城市的特色或歷史背景，將城市地標、馬拉松賽事的精神元素融入到紀念品設計中。

紀念品的獨特性：紀念品的獨特性是其收藏價值的核心。通過限定發售、編號等手段，使得每個紀念品都具有獨一無二的價值，激發參賽者對該紀念品的興趣和收藏欲望。

材質與制作工藝：紀念品的材質和工藝設計也非常關鍵。采用高質量的材質（如金屬、陶瓷、定制的紀念獎牌等）和精細的工藝，使紀念品更加具有收藏價值。

文化價值：結合賽事文化，如賽事的歷史、參賽者的努力與付出等，設計具有文化象征意義的紀念品，例如獎牌、徽章等。這些紀念品不僅僅是物品，更是參賽者對自己參與賽事的紀念和象征。

2. 差異化兌換權益與參賽組別優化

目標：根據參賽組別和成績排名設計差異化的兌換權益，為不同組別的參賽者提供有針對性的獎勵方案，提升賽事的參與感和滿意度。

分析方法：

參賽組別的設計：按照年齡段、性別等因素對參賽者進行分組，確保每個組別的參賽者在同等條件下競爭。組別設計應該科學合理，避免出現某個組別競爭過于激烈或過于松散的情況。

可以按照固定年齡區間（例如每5歲為一組）來劃分組別，也可以根據參賽者的歷史成績或其他參數進行分組。這樣的設計有助于增加賽事的公平性和觀賞性。

歷史成績數據的利用：通過對參賽者歷史成績數據的分析，預測各個組別之間的競爭激烈程度。可以使用歷史成績數據來預測各組別的競爭強度，從而為不同的組別設計合適的獎勵策略。

例如，對于一些競爭激烈的組別，可以設置更高的獎勵標準或更多的名次獎勵，而對于競爭較小的組別，可以適當降低獎勵標準或設置不同的獎品種類。

差異化獎勵設計：根據組別的不同和成績排名的不同，設計差異化的兌換權益。例如，某些組別的冠軍可以獲得限量版紀念品、金牌獎牌等，而其他組別的參賽者則可以獲得不同等級的獎品。還可以為不同成績的參賽者提供特殊兌換權益，例如積分兌換或兌換不同等級的獎品。

獎勵方案的激勵作用：通過差異化的獎勵設計，激勵參賽者爭取更好的成績。例如，可以設計一種積分制獎勵機制，根據參賽者的成績進行積分，積分達到一定數量后可以兌換更多的獎勵。這樣的獎勵方式能夠激發參賽者的參與熱情，并激勵他們不斷挑戰自己。

3. 賽前模擬排名工具的設計

目標：為參賽者提供賽前模擬排名工具，幫助他們了解自己在比賽中的位置，并為其制定合理的獎勵方案。

分析方法：

歷史成績數據的分析：基于歷史成績數據，我們可以對不同組別、不同水平的參賽者進行分析，預測他們在賽事中的表現。歷史成績數據可以幫助我們了解哪些參賽者可能會獲得較高的名次，哪些參賽者的競爭力較弱。

模擬排名工具：利用歷史成績數據，設計一個賽前模擬排名工具，幫助參賽者在賽前估算自己可能的排名和成績。這個工具可以根據參賽者的年齡、性別、歷史成績等參數，結合賽事的歷史數據，提供一個大致的預測排名。

例如，基于歷史成績數據的回歸分析或機器學習算法，可以為參賽者提供一個模擬排名，顯示他們在不同組別中的預期位置。

模擬結果與獎勵方案的關聯：參賽者可以根據模擬排名的結果，制定合理的目標和訓練計劃。根據模擬排名的結果，賽事組織者可以為參賽者提供個性化的獎勵方案。

例如，如果某個參賽者模擬排名較高，可能會獲得更多的獎勵或更高等級的紀念品，而模擬排名較低的參賽者可以獲得激勵獎品或參與獎。