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引言

行列式是線性代數的核心工具，貫穿矩陣運算、特征值計算與微分方程求解。本文系統梳理2.1節核心考點，結合公式速查與典型例題，助你高效突破行列式難點！

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考點一：數值型行列式計算

1?? 行列式的定義

(1) 定義方式

• 排列逆序數法：
  $$|A|=\sum _{j_1{j}_2?j_n}(?1{)}^{\tau (j_1{j}_2?j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}?a_{n{j}_n}$$
  其中 $\tau (j_1{j}_2?j_n)$ 為排列的逆序數。
• 幾何意義：平行六面體體積的帶符號值。

(2) 關鍵點

• 符號規則：交換兩行（列）行列式變號。
• 數乘規則：某行（列）乘以常數 $k$，行列式變為 $k|A|$。

2?? 行列式的性質

轉置 ： $|A^T|=|A|$
行交換 ： 交換兩行，行列式變號 ；交換第1、2行，$|A|\to ?|A|$
數乘 ： 某行乘以 $k$，行列式變為 $k|A|$ ；第3行乘2，$|A|\to 2|A|$
行加法 ： 某行加上另一行的 $k$ 倍，行列式不變；$r_1\leftarrow r_1+k{r}_2$
分塊對角矩陣： $\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=|A|?|B|$

3?? 特殊行列式計算

(1) 行和（列和）相等型

技巧：將其他行（列）加到目標行（列），提取公因子。
示例：
$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|\stackrel{r_1+r_2+r_3}{\to }\left|\begin{array}{ccc}6& 6& 6\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=6\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|$$

(2) “么”型行列式

形式：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& ?& a_{1n}\\ 0& 0& ?& a_{2n}\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& a_{n2}& ?& 0\end{array}\right|$$
解法：按第一行展開，得 $D=(?1{)}^{n+1}{a}_{n1}?M_{n1}$。

(3) “爪”型行列式

形式：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ?& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ a_{n1}& 0& ?& 0\end{array}\right|$$
解法：將第 $i$ 列乘 $?\frac{a_{i1}}{a_{1j}}$ 加到第1列（$i\ge 2$），化為上三角。

(4) 范德蒙德行列式

公式：
$$V_n=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j?x_i)$$
示例：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|=(x_2?x_1)(x_3?x_1)(x_3?x_2)$$

4?? 一般行列式計算

(1) 化零展開法

步驟：

1. 利用行變換將某行（列）盡可能化為零。
2. 按零多的行（列）展開。
   示例：
   $$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|\stackrel{r_2?4r_1,r_3?7r_1}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& ?3& ?6\\ 0& ?6& ?12\end{array}\right|=1?\left|\begin{array}{cc}?3& ?6\\ ?6& ?12\end{array}\right|=0$$

(2) 特征值法

公式：$|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$（${\lambda }_i$ 為特征值）。
示例：
若 $A$ 的特征值為 $1,2,3$，則 $|A|=1\times 2\times 3=6$。

5?? 代數余子式

(1) 余子式與代數余子式

• 余子式：$M_{ij}$ 是劃去第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式。
• 代數余子式：$A_{ij}=(?1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。

(2) 伴隨矩陣

公式：
$$A^{?}=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& ?& A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& ?& A_{n2}\\ ?& ?& ?& ?\\ A_{1n}& A_{2n}& ?& A_{nn}\end{array}\right)$$

(3) 行列式按行（列）展開定理

公式：
行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和：
$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第?}i\text{?行展開})$$
或
$$|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第?}j\text{?列展開})$$
示例：
計算行列式 $D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$ 按第一行展開：
$$D=1?A_{11}+2?A_{12}=1?4?2?3=?2$$

(4) 不同行（列）代數余子式的正交性

公式：
行列式某一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和為零：
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0(i\ne k)$$
或
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{il}=0(j\ne l)$$
示例：
設行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$，計算第一行與第二行代數余子式的乘積和：
$$1?A_{21}+2?A_{22}+3?A_{23}=0$$

6?? 分塊矩陣行列式

(1) 分塊對角矩陣

$$\left|\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)\right|=|A|?|B|$$

(2) 分塊上三角矩陣

$$\left|\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)\right|=|A|?|B|$$

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考點二：抽象矩陣的行列式

1?? 行列式的乘法性質

• 乘法公式：$|AB|=|A|?|B|$。
• 反例：$|A+B|\ne |A|+|B|$（除非特殊結構）。

2?? 特征值與行列式

公式：
$$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$
示例：
若 $A$ 的特征值為 $2,?1,3$，則 $|A|=2\times (?1)\times 3=?6$。

3?? 其他重要結論

(1) 不可逆矩陣

• 若 $A$ 不可逆（$r(A)<n$），則 $|A|=0$。

(2) 伴隨矩陣的行列式

$$|A^{?}|=|A{|}^{n?1}$$

(3) 逆矩陣的行列式

$$|A^{?1}|=\frac{1}{|A|}$$

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實戰技巧

1. 化零優先：通過行變換構造零元素，簡化展開計算。
2. 特征值法：已知特征值時直接相乘求行列式。
3. 分塊處理：對分塊矩陣利用對角塊性質簡化計算。

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總結：行列式的核心在于靈活運用性質化簡計算，結合特征值與分塊技巧可大幅提速。掌握抽象矩陣的行列式規律，是突破高階題目的關鍵！ 🚀

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