強化學習核心原理及數學框架

?1. 定義與核心思想

強化學習（Reinforcement Learning, RL）是一種通過智能體（Agent）與環境（Environment）的持續交互來學習最優決策策略的機器學習范式。其核心特征為：

??試錯學習??：智能體初始策略隨機（"開局是智障"），通過大量交互獲得經驗數據（"裝備全靠打"）
??獎勵驅動??：環境對每個動作給出獎勵信號（Reward），智能體目標為最大化長期累積獎勵

2. 馬爾可夫決策過程（MDP）

RL問題可形式化為五元組：
$\mathcal{M} = (\mathcal{S}, \mathcal{A}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \gamma)$
其中：

$\mathcal{S}$ ：狀態空間（如飛船位置、速度）
$\mathcal{A}$ ：動作空間（離散：{左,右,開火}；連續：力度∈[0,1]）
$\mathcal{P}(s'|s,a)$ ：狀態轉移概率
$\mathcal{R}(s,a)$ ：即時獎勵函數
$\gamma \in 0,1$ ：折扣因子

3. 獎勵機制與目標函數

智能體追求??最大化期望折扣累積獎勵??：
$G_t = \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1}$
對于飛船著陸問題：

最終獎勵：成功著陸+100，墜毀-100
過程獎勵：燃料消耗-0.1，姿態偏離-0.5

4. 策略與價值函數

??策略 $\pi(a|s)$ 表示狀態到動作的概率分布，??狀態值函數??評估策略優劣：
$V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s\right]$
??動作值函數??（Q函數）定義為：
$Q^{\pi}(s,a)=\mathbb{E}_\pi [G_{t}|S_{t}=s,A_{t}=a]$

5. 策略優化方法

5.1 基于值函數的方法（如Q-Learning）

通過貝爾曼最優方程更新Q值：
$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha\left[R(s,a)+\gamma\max_{a'}Q(s',a')-Q(s,a)\right]$

5.2 策略梯度方法（如REINFORCE）

直接優化參數化策略 $\pi_{\theta}(a|s)$ ，梯度計算為：
$\nabla_{\theta}J(\theta)=\mathbb{E}_{\pi_{\theta}}\left[G_{t}\nabla_{\theta}\log\pi_{\theta}(A_{t}|S_{t})\right]$

6. 深度強化學習實現

使用神經網絡近似策略或價值函數（如DQN）：
輸入： $s$ $\xrightarrow{\text{shenjingwangluo}}$ 輸出：動作概率分布/最優動作
訓練目標為最小化時序差分誤差：
$\mathcal{L}(\theta)=\mathbb{E}\left[\left(R+\gamma\max_{a'}Q_{\theta^{-}}(s',a')-Q_{\theta}(s,a)\right)^{2}\right]$

7. 應用領域

領域	狀態空間	動作空間	獎勵設計
機器人控制	關節角度、力反饋	力矩調整	姿態穩定性獎勵
游戲AI	屏幕像素	手柄按鍵組合	得分增減機制
金融交易	市場行情	買入/賣出量	投資回報率

8. 核心挑戰

??探索與利用的平衡??：ε-greedy、UCB等方法
??稀疏獎勵問題??：基于好奇心（Curiosity）的探索
??高維連續動作空間??：確定性策略梯度（DDPG）

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