Q26: 推導拉格朗日乘子法??的 KKT 條件

拉格朗日乘子法與 KKT 條件是啥？

拉格朗日乘子法是解決約束優化問題的利器。比如，想最小化函數?，同時滿足約束?，就構造拉格朗日函數?（?是乘子）。KKT 條件是解這類問題的核心規則，包含以下幾點：

1. 梯度為零：，即?，表示在最優解處，目標函數梯度與約束函數梯度成比例。
2. 原始可行性：，確保解在約束范圍內。
3. 對偶可行性：，乘子非負。
4. 互補松弛：，意味著要么?（約束不起作用），要么?（約束剛好滿足）。

在 LLM 中的使用

在 LLM 的模型壓縮中，既要最小化模型大小?，又要保證精度?（如精度下降不超過閾值）。通過 KKT 條件找到最優壓縮參數，確保在精度約束下模型最小。例如，剪枝時確定保留哪些連接，使模型變小同時精度達標。

代碼示例（簡單約束優化）：

import numpy as np  
# 目標函數 f(x) = x2  
# 約束 g(x) = x - 1 ≤ 0  
def lagrangian(x, lam):  return x**2 + lam * (x - 1)  
# 假設λ=0，檢查x=0是否滿足  
x = 0  
g = x -1  
lam = 0  
print(f"x={x}, g(x)={g}, λg(x)={lam*g}")  
if lam * g ==0 and g <=0:  print("滿足KKT條件")  

解釋：代碼中，若?，滿足?，且?，符合互補松弛。這說明無約束解??也滿足約束，是最優解。LLM 中類似邏輯用于約束下的參數優化。

---

Q27: 分析投影梯度下降（Projected Gradient Descent）的可行性保持條件

投影梯度下降是啥？

投影梯度下降處理約束優化，先梯度下降更新參數，再將參數投影回可行域。可行性保持條件確保每次迭代后參數仍在可行域內。例如，可行域是?，更新??后，投影??使?。

可行性保持條件

• 可行域需是凸集（如球體、矩形），保證投影唯一。
• 投影操作?滿足??可行域。例如，若可行域?，投影為?。

在 LLM 中的使用

LLM 訓練中，對參數范數約束（如?）防止過擬合。每次參數更新后，投影到范數球內。例如，訓練 BERT 時，限制權重矩陣范數，投影確保權重在可行域，提升模型穩定性。

代碼示例（簡單投影梯度下降）：

import torch  
# 可行域 x ≥0  
x = torch.tensor([-1.0], requires_grad=True)  
eta = 0.1  
f = x**2  
f.backward()  
with torch.no_grad():  x -= eta * x.grad  x_proj = torch.max(torch.zeros(1), x)  # 投影  
print(f"更新后x: {x.item()}, 投影后x_proj: {x_proj.item()}")  

解釋：代碼中?x?初始為 - 1，梯度下降更新后，投影??確保?，保持可行性。LLM 中類似投影操作，確保參數在約束范圍內，優化更穩定。