數據結構與算法-動態規劃-線性動態規劃，0-1背包，多重背包，完全背包，有依賴的背包，分組背包，背包計數，背包路徑

動態規劃原理

動態規劃這玩意兒，就好比是在拓撲圖上玩跳格子游戲。在圖論中，咱們是從特定的節點跳到其他節點；而在動態規劃里呢，我們是從一個狀態 “嗖” 地轉移到另一個狀態。狀態一般用數組來表示，就像 f [i][j]，它就是一種超重要的狀態，能從類似 f [i - 1][j] 這樣的狀態 “跑” 過來哦。

1-線性動態規劃用法

確定狀態：得根據問題的特點，像尋寶一樣找出合適的狀態表示，通常就是用數組來存這些狀態啦。

找出狀態轉移方程：這可是關鍵中的關鍵，要搞清楚狀態之間是怎么 “串門” 的，也就是當前狀態是咋從之前的狀態推導出來的。

處理邊界條件：得先確定好初始狀態的值，這就像游戲開始時要站好初始位置，這樣狀態轉移才能順順利利地開始。

計算結果：按照狀態轉移方程這個 “魔法公式”，一步步穩穩地算出最終結果。

算法模板

cpp

// 定義狀態數組const?int?N =?10010;int?f[N][N];?

// 輸入數據// ...

// 初始化邊界條件// ...

// 狀態轉移for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????for?(int?j =?1;?j <=?m;?j++)?{

????????f[i][j]?=?max(f[i -?1][j -?1],?f[i -?1][j])?+?...;?// 狀態轉移方程

????}}

// 計算結果int?ans =?0;for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????ans =?max(ans,?f[n][i]);}

cout <<?ans;

例題分析

數字三角形問題

這題簡直就像是在一個特殊的數字迷宮里找最長的寶藏路線。狀態 f [i][j] 表示從最高點一路 “探險” 到第 i 行第 j 列的最大路徑和。狀態轉移方程 f [i][j] = max (f [i - 1][j - 1], f [i - 1][j]) + g [i][j]，這里的 g [i][j] 就是第 i 行第 j 列那個閃閃發光的數字啦。寶子們，沖呀，解開這個謎題不在話下 (??????)??！

代碼：

#include?<bits/stdc++.h>using?namespace?std;const?int?N =?10010;int?f[N][N],?g[N][N];int?main()?{

????int?n;

????scanf("%d",?&n);

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????for?(int?j =?1;?j <=?i;?j++)?{

????????????scanf("%d",?&g[i][j]);

????????}

????}

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????for?(int?j =?1;?j <=?i;?j++)?{

????????????f[i][j]?=?max(f[i -?1][j -?1],?f[i -?1][j])?+?g[i][j];

????????}

????}

????int?ans =?0;

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?ans =?max(ans,?f[n][i]);

????cout <<?ans;}

最長上升子序列相關問題

合唱隊形問題

這題就像是在給一群同學排一個超酷炫的合唱隊形。要找出最少出列同學數量，讓剩下同學能排出那個特別的合唱隊形。咱們可以先從左到右求最長上升子序列 f1，再從右到左求最長上升子序列 f2，最后找出 f1 [i] + f2 [i] 的最大值，用總人數減去這個最大值再減 1 就是答案啦。加油，寶子們，這種題目對你們來說，肯定是小菜一碟 (??.??)！

代碼

#include<bits/stdc++.h>using?namespace?std;

const?int?N =?110;int?a[N];int?f1[N],?f2[N];int?main()?{

????int?n;

????scanf("%d",?&n);

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????scanf("%d",?&a[i]);

????}

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????for?(int?j =?1;?j <?i;?j++)?{

????????????if?(a[i]?>?a[j])

????????????????f1[i]?=?max(f1[i],?f1[j]?+?1);

????????}

????}

????for?(int?i =?n;?i;?i--)?{

????????for?(int?j =?n;?j >?i;?j--)?{

????????????if?(a[i]?>?a[j])

????????????????f2[i]?=?max(f2[i],?f2[j]?+?1);

????????}

????}

????int?ans =?0;

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????ans =?max(ans,?f1[i]?+?f2[i]);

????}

????cout <<?n -?ans -?1;}

奶牛吃牧草問題

有一群可愛的奶牛要去吃牧草啦，這里有 N 個區間，每個區間 x, y 代表 y - x + 1 堆優質牧草，咱要幫奶牛選不重復區間，讓它們吃到最多的牧草。可以先按區間右端點排序，再用二分查找找出能和當前區間不重疊的最大區間編號，最后用動態規劃求解。寶子們，開動腦筋，幫奶牛們實現牧草自由 (??????)??！

cpp

#include?<bits/stdc++.h>using?namespace?std;const?int?N =?150010;

pair<int,?int>?a[N];int?f[N];int?n;

int?find(int?l,?int?r,?int?val)?{

????int?res =?0;

????while?(l <=?r)?{

????????int?mid =?(l +?r)?>>?1;

????????if?(a[mid].first <?val)?{

????????????res =?mid,?l =?mid +?1;

????????}?else?r =?mid -?1;

????}

????return?res;}int?main()?{

????scanf("%d",?&n);

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????int?s,?ss;

????????scanf("%d%d",?&s,?&ss);

????????a[i]?=?{ss,?s};

????}

????sort(a +?1,?a +?1?+?n);

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????int?h =?a[i].second,?t =?a[i].first;

????????f[i]?=?max(f[i -?1],?f[find(1,?i -?1,?h)]?+?t -?h +?1);

????}

????cout <<?f[n];}

2-背包問題

0 - 1 背包問題

原理：對于每個物品，只有選和不選兩種情況，目標是在背包容量限制下獲得最大利益。

狀態定義：f[i][j]?表示考慮前?i?個物品，背包剩余體積為?j?時能獲得的最大價值。

狀態轉移方程：f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])，其中?v[i]?是第?i?個物品的體積，w[i]?是其價值。

滾動數組優化原理：由于?f[i]?層狀態只依賴于?f[i - 1]?層，可使用一維數組?f[j]?替代二維數組。但要倒序枚舉體積?j，防止一個物品被重復選擇。優化后的狀態轉移方程為?f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])。

例題：采藥問題

#include?<bits/stdc++.h>using?namespace?std;int?n,v;const?int?N=110,M=1010;int?w[N],c[N],f[M];int?main(){

????cin>>v>>n;

????int?pre=0;

????for(int?i=0;i<n;i++){

????????cin>>c[i]>>w[i];

????}

????for(int?i=0;i<n;i++){

????????pre+=c[i];

????????for(int?j=min(pre,v);j>=c[i];j--)

????????????f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);

????}

????int?ans=0;

????for(int?i=0;i<=v;i++)ans=max(ans,f[i]);

????cout<<ans;}

多維 0 - 1 背包問題（以二維為例）

原理：有兩個消耗維度（如金幣和精力），在考慮物品選擇時要同時滿足兩個維度的限制。

狀態定義：f[i][j][k]?表示到第?i?個物品時，花費了?j?個金幣，花費了?k?個精力所獲得的收益。

狀態轉移：與一維 0 - 1 背包類似，只是要同時考慮兩個維度的限制。

kkksc03 實現愿望問題

kkksc03 的時間和金錢是有限的，所以他很難滿足所有同學的愿望。所以他想知道在自己的能力范圍內，最多可以完成多少同學的愿望？

#include<bits/stdc++.h>using?namespace?std;const?int?N=210;int?f[N][N];int?n,v1,v2;int?main(){

????cin>>n>>v1>>v2;

????for(int?i=1;i<=n;i++){

????????int?c1,c2;

????????cin>>c1>>c2;

????????for(int?j=v1;j>=c1;j--)

????????????for(int?k=v2;k>=c2;k--)

????????????????f[j][k]=max(f[j][k],f[j-c1][k-c2]+1);

????}

????cout<<f[v1][v2];}

多重背包問題

原理：每個物品有?s[i]?個，可選擇 0 到?s[i]?個該物品。

方法一：樸素枚舉

for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)

????for(int?j =?0;?j <=?s[i];?j++)

????????for(int?k =?m;?k >=?j *?v[i];?k--)

????????????f[k]?=?max(f[k],?f[k -?j *?v[i]]?+?j *?w[i]);

方法二：二進制枚舉


將數量為?s[i]?的物品拆分成若干個不同的 “新物品”，數量分別為?1, 2, 4, ..., 2^k, r（其中?r = s[i] - (1 + 2 + 4 + ... + 2^k)?且?1 + 2 + 4 + ... + 2^k <= s[i]），通過這些 “新物品” 的不同組合可表示 0 到?s[i]?之間的任意數量，然后對這些 “新物品” 使用 0 - 1 背包方法求解。

代碼

#include?<bits/stdc++.h>using?namespace?std;

const?int?N =?2010;int?f[N];

int?main()?{

????int?n,?V;

????cin >>?n >>?V;

????for?(int?i =?0;?i <?n;?i++)?{

????????int?v,?w,?s;

????????cin >>?v >>?w >>?s;

????????for?(int?k =?1;?k <=?s;?k *=?2)?{

????????????for?(int?j =?V;?j >=?k *?v;?j--)?{

????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?k *?v]?+?k *?w);

????????????}

????????????s -=?k;

????????}

????????if?(s >?0)?{

????????????for?(int?j =?V;?j >=?s *?v;?j--)?{

????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?s *?v]?+?s *?w);

????????????}

????????}

????}

????cout <<?f[V]?<<?endl;

????return?0;}

方法三：單調隊列優化：

通過單調隊列對狀態轉移進行優化，減少不必要的計算，但實現相對復雜。

完全背包問題

原理：每個物品可以選無限個。

狀態轉移方程：f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])，優化到一維數組后，正序枚舉體積?j，因為每個物品可以選多次，f[j - v[i]]?可能已經是選了若干個第?i?個物品后的狀態。

代碼：

for(int?i =?1;?i <=?n;?i++)

????for(int?j =?v[i];?j <=?V;?j++)

????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?v[i]]?+?w[i]);

分組背包問題

原理：物品被分成不同的組，每組只能選 1 個物品。

狀態轉移：按組、體積、組內物品的順序進行枚舉。

偽代碼

for(組)

????for(體積)

????????for(組中第幾個)

????????????// 狀態轉移

拓展：每組選?s[i]?個物品的解決方法

可以將每個組內的物品進行組合，生成新的 “組合物品”，每個組合看作一個新物品，其體積和價值是組合內物品的體積和價值之和，然后對這些新的 “組合物品” 使用分組背包的方法求解。也可以結合 DFS 進行搜索。

有依賴的背包問題

原理：選擇某一個物品時需要先選擇其前驅物品。

解決方法：

轉換為 0 - 1 背包：把物品的不同選擇情況看作不同的物品，例如買了?a?才能買?b?和?c，買了?b?才能買?d，則子樹的所有情況?a, ab, ac, abc, abd, abcd?相當于轉換成了 6 個不同的物品。

樹形 DP：把物品之間的依賴關系看作一棵樹，根節點是主物品，子節點是依賴于主物品的物品，從葉子節點開始向上遞推，計算每個節點及其子樹的所有可能選擇情況。

開心的金明

金明今天很開心，家里購置的新房就要領鑰匙了，新房里有一間金明自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎么布置，你說了算，只要不超過 n 元錢就行”。今天一早，金明就開始做預算了，他把想買的物品分為兩類：主件與附件，附件是從屬于某個主件的，下表就是一些主件與附件的例子： 主件 附件 電腦 打印機，掃描儀 書柜 圖書 書桌 臺燈，文具 工作椅 無 如果要買歸類為附件的物品，必須先買該附件所屬的主件。每個主件可以有 0 個、1 個或 2 個附件。每個附件對應一個主件，附件不再有從屬于自己的附件。金明想買的東西很多，肯定會超過媽媽限定的 n 元。

于是，他把每件物品規定了一個重要度，分為 5 等：用整數 1～5 表示，第 5 等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是 10 元的整數倍）。他希望在不超過 n 元的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。

設第 j 件物品的價格為 v j ? ，重要度為 w j ? ，共選中了 k 件物品，編號依次為 j 1 ? ,j 2 ? ,…,j k ? ，則所求的總和為： v j 1 ? ? ×w j 1 ? ? +v j 2 ? ? ×w j 2 ? ? +?+v j k ? ? ×w j k ? ? 請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單。

輸入格式 第一行有兩個整數，分別表示總錢數 n 和希望購買的物品個數 m。 第 2 到第 (m+1) 行，每行三個整數，第 (i+1) 行的整數 v i ? ，p i ? ，q i ? 分別表示第 i 件物品的價格、重要度以及它對應的的主件。如果 q i ? =0，表示該物品本身是主件。

cpp

#include?<iostream>#include?<cstring>using?namespace?std;

const?int?N =?60;??// 物品最大數量const?int?M =?32010;??// 錢數的上限

int?n,?m;??// n 表示總錢數，m 表示物品個數int?v[N],?w[N];??// v 存儲物品價格，w 存儲物品價格與重要度的乘積int?f[M];??// 記錄狀態

struct?Item?{

????int?v,?w;??// 主件的價格和價格與重要度的乘積

????int?v1,?w1;??// 附件 1 的價格和價格與重要度的乘積

????int?v2,?w2;??// 附件 2 的價格和價格與重要度的乘積};

Item items[N];

int?main()?{

????cin >>?n >>?m;

????n /=?10;??// 因為價格都是 10 元的整數倍，這里統一處理為 10 元為單位

????for?(int?i =?1;?i <=?m;?i++)?{

????????int?p,?q;

????????cin >>?v[i]?>>?p >>?q;

????????v[i]?/=?10;??// 統一為 10 元為單位

????????w[i]?=?v[i]?*?p;

????????if?(q ==?0)?{??// 是主件

????????????items[i].v =?v[i];

????????????items[i].w =?w[i];

????????}?else?{??// 是附件

????????????if?(items[q].v1 ==?0)?{??// 第一個附件

????????????????items[q].v1 =?v[i];

????????????????items[q].w1 =?w[i];

????????????}?else?{??// 第二個附件

????????????????items[q].v2 =?v[i];

????????????????items[q].w2 =?w[i];

????????????}

????????}

????}

????for?(int?i =?1;?i <=?m;?i++)?{

????????if?(items[i].v >?0)?{??// 是主件

????????????for?(int?j =?n;?j >=?items[i].v;?j--)?{

????????????????// 不選附件的情況

????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?items[i].v]?+?items[i].w);

????????????????// 選附件 1 的情況

????????????????if?(j >=?items[i].v +?items[i].v1)?{

????????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?items[i].v -?items[i].v1]?+?items[i].w +?items[i].w1);

????????????????}

????????????????// 選附件 2 的情況

????????????????if?(j >=?items[i].v +?items[i].v2)?{

???????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?items[i].v -?items[i].v2]?+?items[i].w +?items[i].w2);

????????????????}

????????????????// 選附件 1 和附件 2 的情況

????????????????if?(j >=?items[i].v +?items[i].v1 +?items[i].v2)?{

???????????????????f[j]?=?max(f[j],?f[j -?items[i].v -?items[i].v1 -?items[i].v2]?+?items[i].w +?items[i].w1 +?items[i].w2);

???????????????}

???????????}

???????}

????}

????cout <<?f[n]?*?10?<<?endl;??// 還原為原來的價格單位

????return?0;}

背包拓展問題

背包計數問題

原理：統計滿足某個條件的數量。

狀態轉移方程：通常為?f[j] += f[j - v]。

例題：奶牛組隊問題

#include<bits/stdc++.h>using?namespace?std;const?int?N=2010;const?int?mod=1e8;int?f[N][N];int?a[N];int?n,m;int?op(int?x){

????return?((x%m)+m)%m;}int?main(){

????cin>>n>>m;

????for(int?i=1;i<=n;i++){

????????scanf("%d",&a[i]);

????????a[i]=a[i]%m;

????????f[i][a[i]]=1;

????}

????for(int?i=1;i<=n;i++){

????????for(int?j=0;j<m;j++)

????????????f[i][j]=((f[i][j]+f[i-1][j])%mod+f[i-1][op(j-a[i])])%mod;

????}

????cout<<f[n][0];}

背包路徑問題

原理：要求輸出具體選擇了哪些物品，使用一個額外的數組記錄最優值的轉移來源。

#include?<bits/stdc++.h>using?namespace?std;

const?int?N =?1010;int?v[N],?w[N];int?f[N][N];bool?g[N][N];??// 記錄每個狀態是從哪里轉移來的

int?main()?{

????int?n,?m;

????cin >>?n >>?m;

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?cin >>?v[i]?>>?w[i];

????for?(int?i =?1;?i <=?n;?i++)?{

????????for?(int?j =?0;?j <=?m;?j++)?{

????????????f[i][j]?=?f[i -?1][j];

????????????if?(j >=?v[i]?&&?f[i -?1][j -?v[i]]?+?w[i]?>?f[i][j])?{

????????????????f[i][j]?=?f[i -?1][j -?v[i]]?+?w[i];

????????????????g[i][j]?=?true;??// 表示選擇了第 i 個物品

????????????}

????????}

????}

????// 輸出最大價值

????cout <<?f[n][m]?<<?endl;

????// 回溯找出選擇的物品

????vector<int>?path;

????for?(int?i =?n,?j =?m;?i;?i--)?{

????????if?(g[i][j])?{

????????????path.push_back(i);

????????????j -=?v[i];

????????}

????}

????// 輸出選擇的物品編號

????for?(int?i =?path.size()?-?1;?i >=?0;?i--)?{

????????cout <<?path[i]?<<?" ";

????}

????cout <<?endl;

????return?0;}

這些背包問題雖然各有特點，但核心都是通過合理定義狀態和狀態轉移方程來解決。多做練習，能熟練掌握噠！(??.??)

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文章目錄 前言1. 使用Docker部署memos2. 注冊賬號與簡單操作演示3. 安裝cpolar內網穿透4. 創建公網地址5. 創建固定公網地址 推薦 ? 前些天發現了一個巨牛的人工智能學習網站&#xff0c;通俗易懂&#xff0c;風趣幽默&#xff0c;忍不住分享一下給大家。 點擊跳轉到網站 前言…
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【Vue #2】腳手架 指令

【Vue #2】腳手架 指令

一、腳手架 腳手架&#xff1a;一個保證各項工作順利開展的平臺&#xff0c;方便我們 拿來就用&#xff0c;零配置 1. Vue 代碼開發方式 相比直接 script 引入 vue 源碼&#xff0c;有沒有更好的方式編寫vue代碼呢? ① 傳統開發模式&#xff1a; 基于html文件開發Vue&…
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ArkTS語言入門之接口、泛型、空安全、特殊運算符等

ArkTS語言入門之接口、泛型、空安全、特殊運算符等

前言 臭寶們&#xff0c;今天我們來學習ArkTS中最后的一些內容。 實現接口 包含implements子句的類必須實現列出的接口中定義的所有方法&#xff0c;但使用默認實現定義的方法除外。 interface DateInterface {now(): string; } class MyDate implements DateInterface {no…
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Maven超級詳細安裝部署

Maven超級詳細安裝部署

1.到底什么是Maven&#xff1f;搞清楚這個 Maven 是一個項目管理工具&#xff0c;主要用于 Java 項目的構建、依賴管理和文檔生成。 它基于項目對象模型&#xff08;POM&#xff09;&#xff0c;通過 pom.xml 文件定義項目的配置。 &#xff08;簡單說破&#xff1a;就是工程…
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高并發內存池（三）：PageCache（頁緩存）的實現

高并發內存池（三）：PageCache（頁緩存）的實現

前言&#xff1a; 在前兩期內容中&#xff0c;我們深入探討了內存管理機制中在 ThreadCache 和 CentralCache兩個層級進行內存申請的具體實現。這兩層緩存作為高效的內存分配策略&#xff0c;能夠快速響應線程的內存需求&#xff0c;減少鎖競爭&#xff0c;提升程序性能。 本期…
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機器學習 | 強化學習方法分類匯總 | 概念向

機器學習 | 強化學習方法分類匯總 | 概念向

文章目錄 ??Model-Free RL vs Model-Based RL??核心定義??核心區別??Policy-Based RL vs Value-Based RL??核心定義?? 核心區別??Monte-Carlo update vs Temporal-Difference update??核心定義??核心區別??On-Policy vs Off-Policy??核心定義??核心區別…
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GSO-YOLO：基于全局穩定性優化的建筑工地目標檢測算法解析

GSO-YOLO：基于全局穩定性優化的建筑工地目標檢測算法解析

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2407.00906 1. 論文概述 《GSO-YOLO: Global Stability Optimization YOLO for Construction Site Detection》提出了一種針對建筑工地復雜場景優化的目標檢測模型。通過融合全局優化模塊（GOM）?、穩定捕捉模塊（SCM）?和創新的AIoU損失函…
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Java學習手冊：JVM、JRE和JDK的關系

Java學習手冊：JVM、JRE和JDK的關系

在Java生態系統中&#xff0c;JVM&#xff08;Java虛擬機&#xff09;、JRE&#xff08;Java運行時環境&#xff09;和JDK&#xff08;Java開發工具包&#xff09;是三個核心概念。它們共同構成了Java語言運行和開發的基礎。理解它們之間的關系對于Java開發者來說至關重要。本文…
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lanqiaoOJ 2489 進制

lanqiaoOJ 2489 進制

//x的初始值一定要設置為0,否則測試的答案是對的,但是通不過去 #include<bits/stdc.h> using namespace std; const int N50; int a[N]; using lllong long; int main(){ ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0); string s"2021ABCD"; for(int i…
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