平面方程的一般形式為 Ax+By+Cz+D=0，其中系數 A、B、C、D共同決定了平面的幾何特性。

1. 法向量方向

法向量方向由 A、B、C 決定

• 核心作用：系數 A、B、C 構成的向量 (A,B,C)
  是平面的法向量，決定了平面的方向（即平面的傾斜姿態）。法向量的方向垂直于平面，任何改變這三個系數的操作都會調整平面的傾斜角度和旋轉姿態
• 示例： 若 A 增大，法向量在 x 軸方向的分量增加，平面繞 y 或 z 軸的傾斜角度改變。 若 B=0，平面法向量垂直于 y軸，平面平行于 y 軸方向。

2. 平面位置

平面位置：由 D 決定

• 核心作用：系數 D 決定了平面在三維空間中的平移位置，即平面沿法向量方向的偏移量。改變 D 會平移平面，但不影響其方向
• 示例： 若 D 從 0 變為 5，平面將沿法向量方向遠離原點 5 個單位，但平面的傾斜角度不變。

3. 比例關系

比例關系：系數間的相對比例

• 核心作用：系數 A、B、C 的比例關系決定了法向量的具體方向，而 D 的絕對值大小影響平面的位置偏移程度。例如：方程
  2x+4y+6z+3=0 與 x+2y+3z+1.5=0 表示同一平面（系數成比例），但 D 不同會導致平面位置不同
• 特殊情形：A=0，平面平行于 x 軸；若 A=B=0，平面平行于 x-y 平面

4. 姿態變換

姿態變換：系數與空間變換的關聯

• 核心作用：當平面經過旋轉或平移變換時，其方程系數會相應改變： 旋轉：旋轉矩陣作用于法向量 (A,B,C)，改變平面的方向。平移：平移向量影響 D 的值，調整平面位置
• 示例： 若平面繞 y 軸旋轉 90°，新的法向量為 (?C,B,A)，方程變為 ?Cx+By+Az+D ′ =0，其中 D′ 由原方程和平移量決定

5.平面空間變換

3D標定完成后，會獲取空間變換矩陣（相機坐標系與標定板坐標系），不僅3D點可以通過該變換矩陣進行轉換，平面也可以。
轉換后平面推導過程如下：

1、 平面方程與變換矩陣的表示
原平面方程：設原平面方程為 Ax+By+Cz+D=0，法向量為

變換矩陣：假設已知變換矩陣為齊次坐標下的4×4矩陣 M

其中R 為3x3的旋轉矩陣（在3D標定中無縮放），
t 為平移向量：

2、法向量的變換
法向量是協變向量，其變換需使用旋轉矩陣的逆轉置，即：

• 推導： 若點變換為 p′=R p+t，則平面方程需滿足 n ′ ?(p ′ ?t)+D ′ =0。代入原方程 n?p+D=0，可得
  
  3、 偏移量的變換
  平移變換會影響平面的位置，偏移量 D 需重新計算。設原平面上一點 p0 滿足 n?p 0+D=0，變換后該點變為：
  p0′=R p0+t
  新平面方程應滿足 n ′ ?p 0′ +D ′ =0，解得：D ′ =?n ′ ?p 0′ =?n ′ ?(R p0+t)

4、組合變換后的平面方程
綜合上述步驟，變換后的平面方程為：A ′ x+B ′ y+C ′ z+D ′ =0
其中：

• 新法向量：

  

• 新偏移量：D ′ =D?n ′ ?t（若原平面經過平移）。