二項分布

生成二項分布概率

s <- 0:60
prob <- dbinom(s, size = 60, prob = 1/6)

• s <- 0:60：生成 0 到 60 之間的整數，表示可能的成功次數。

• dbinom(s, size = 60, prob = 1/6)
  

  • dbinom(x, size, prob) 計算二項分布的概率質量函數（PMF），即：
    $$P(X=s)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{s}\right)(1/6{)}^s(5/6{)}^{60?s}$$

  • size = 60：表示總試驗次數（即 60 次）。

  • prob = 1/6：每次試驗的成功概率（如擲骰子得到 1 的概率為 1/6）。

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2. 用 Base R 繪圖

plot(s, prob, type = "h")

• plot()：繪制散點圖。
• type = "h"：表示繪制豎直線條，類似于直方圖。

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3. 用 ggplot2 繪圖

dat <- data.frame(x = s, y = prob)
ggplot(dat, aes(x = s, y = y, xend = s, yend = 0)) +geom_segment() + theme_minimal()

代碼解析

• data.frame(x = s, y = prob)：創建數據框，包含 x 軸的成功次數 s 和 y 軸的概率 prob。

• ggplot(dat, aes(x = s, y = y, xend = s, yend = 0))
  

  • x = s, y = y：將 s 作為橫坐標，prob 作為縱坐標。
  • xend = s, yend = 0：繪制從 (s, prob) 到 (s, 0) 的豎直線段。

• geom_segment()：繪制豎線（類似于 Base R 的 type = "h"）。

• theme_minimal()：應用簡潔主題，去掉多余背景。

正態分布概率密度計算

dnorm(10, 10, 0.1)

• 用于計算

  正態分布的概率密度函數

  • x 是你想要計算的點。
  • mean 是正態分布的均值（平均值）。
  • sd 是正態分布的標準差。

所以，dnorm(10, 10, 0.1) 計算的是在均值為 10，標準差為 0.1 的正態分布下，點 x = 10 的概率密度值。

數學公式：

正態分布的概率密度函數（PDF）公式為：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
其中：

• x 是你要求概率密度的值。
• μ 是正態分布的均值。
• σ 是標準差。

3.989423

pdf是可以大于1的，因為是概率密度而不是概率

生成正態分布密度范圍

x <- seq(from = mu - 4 * sig, to = mu + 4 * sig,length.out = 128)

• mu 代表正態分布的均值（mean）。

• sig 代表標準差（standard deviation）。

• seq(from = ..., to = ..., length.out = ...)
  

  是 R 中用于生成數值序列的函數。

  • from 是序列的起始值。
  • to 是序列的結束值。
  • length.out 指定生成的序列包含的元素個數。

功能：

• 該代碼生成了一個從 mu - 4 * sig 到 mu + 4 * sig 的序列。通常，正態分布的95%數據都落在均值 ± 2倍標準差的范圍內，所以 mu ± 4 * sig 給出了一個比 95% 范圍更廣的范圍（約 99.99%）。
• length.out = 128 指定生成的序列包含128個點，這些點均勻分布在這個范圍內。

極大似然估計二項分布

n <- 50  
y <- 10  neg_log_likelihood <- function(p) {-dbinom(y, n, p, log = TRUE)
}initial_guess <- 0.5result <- optim(initial_guess, neg_log_likelihood, method = "Brent", lower = 0, upper = 1)mle_proportion_boys <- result$par
mle_proportion_boys

詳細解釋：

1. 給定的數據：
   • n <- 50：總共50個人。
   • y <- 10：其中10個是男孩。
2. 負對數似然函數的定義：
   • neg_log_likelihood：該函數定義了給定男孩比例 ppp 下的負對數似然函數，表示為 ?log?(P(y boys))，其中 P(y boys) 是二項分布的概率質量函數 dbinom(y, n, p)。
   • dbinom(y, n, p, log = TRUE) 返回的是概率值的對數。
3. 優化：
   • 使用 optim() 函數進行最大化，初始猜測是 initial_guess <- 0.5，即假設男孩的比例是50%。
   • optim() 方法使用的是 “Brent” 方法，這是一個適合一維問題的優化算法，lower = 0 和 upper = 1 限制了男孩比例 ppp 的取值范圍在 [0, 1] 之間。
4. 得到的結果：
   • result$par 提供了使負對數似然最小的比例，這就是我們想要的最大似然估計值（MLE）。

核密度估計

density.cbd <- density(x = distance.cbd, bw = 1.25, from = 0, to = 50)

代碼解釋：

1. density(x = distance.cbd, bw = 1.25, from = 0, to = 50)
   • x = distance.cbd：distance.cbd 是輸入數據，可能是一個包含觀測值的向量。
   • bw = 1.25：帶寬（bandwidth）是KDE中的一個重要參數，決定了估計曲線的平滑度。較小的帶寬會使曲線更接近數據點，而較大的帶寬會使曲線更加平滑。bw = 1.25 指定了帶寬為1.25。
   • from = 0 和 to = 50：這些參數定義了估計的范圍，即從0到50的區間內進行核密度估計。