線性相關是指一組向量中，至少有一個向量可以表示為其他向量的線性組合。具體來說，對于向量組?v1,v2,…,vn，如果存在不全為零的標量?c1,c2,…,cn使得：
c1v1+c2v2+…+cnvn=0
則稱這些向量線性相關。否則，它們線性無關。
舉例
-
二維空間：
-
向量?v1=(1,2)和?v2=(2,4) 線性相關，因為?v2=2v1?。
-
-
三維空間：
-
向量?v1=(1,0,0)、v2=(0,1,0)和?v3=(1,1,0) 線性相關，因為?v3=v1+v2?。
-
計算機科學中的應用
-
數據壓縮：
-
在圖像和視頻壓縮中，線性相關用于減少冗余數據。例如，JPEG利用離散余弦變換（DCT）將圖像數據轉換為線性相關的頻率分量，從而壓縮數據。
-
-
機器學習：
-
在特征選擇中，線性相關用于去除冗余特征。如果兩個特征高度線性相關，只需保留一個，以減少計算復雜度并避免過擬合。
-
-
計算機圖形學：
-
在三維圖形渲染中，線性相關用于判斷點是否共面。如果四個點線性相關，則它們位于同一平面上，這在碰撞檢測和光照計算中非常重要。
-
-
網絡流分析：
-
在網絡流分析中，線性相關用于識別流量模式。通過分析數據包的線性相關性，可以檢測異常流量或網絡攻擊。
-
-
密碼學：
-
在線性密碼分析中，線性相關用于破解加密算法。通過分析密文和明文之間的線性關系，可以推斷出密鑰信息。
-
python演示相關系數
pip install numpy matplotlib seaborn scipy
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
#線性相關
# 生成隨機數據
np.random.seed(0)
x = np.random.rand(100)
y = 2 * x + np.random.normal(0, 0.1, 100) # y = 2x + noise# 創建DataFrame
data = pd.DataFrame({'X': x, 'Y': y})# 計算相關系數
correlation = data['X'].corr(data['Y'])
print(f"相關系數: {correlation}")# 繪制散點圖
plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.scatterplot(data=data, x='X', y='Y')
plt.title(f'散點圖 (相關系數: {correlation:.2f})')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.grid(True)
plt.show()生成子空間是由一組向量通過線性組合生成的空間。具體來說，給定向量集合?{v1,v2,…,vk}，其生成子空間是所有形如?c1v1+c2v2+?+ckvk??的向量的集合，其中?c1,c2,…,ckc1?,c2?,…,ck??為標量。
關鍵點
-
線性組合：生成子空間中的向量是給定向量的線性組合。
-
子空間：生成子空間滿足向量空間的封閉性，即對加法和標量乘法封閉。
-
基：生成子空間的維數等于向量集合的最大線性無關向量數，這些向量構成子空間的一組基。
例子
給定向量?v1=(1，0)和?v2=(0，1)，其生成子空間是整個?R2，因為任何?R2 中的向量都可以表示為?c1v1+c2v2。
python演示生成子空間
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D# 定義向量
v1 = np.array([1, 0, 0])
v2 = np.array([0, 1, 0])
v3 = np.array([0, 0, 1])# 生成線性組合
a_values = np.linspace(-2, 2, 10)
b_values = np.linspace(-2, 2, 10)
c_values = np.linspace(-2, 2, 10)
a_grid, b_grid, c_grid = np.meshgrid(a_values, b_values, c_values)
linear_combinations = a_grid[:, :, :, np.newaxis] * v1 + b_grid[:, :, :, np.newaxis] * v2 + c_grid[:, :, :, np.newaxis] * v3# 提取x, y, z坐標
x_coords = linear_combinations[:, :, :, 0].flatten()
y_coords = linear_combinations[:, :, :, 1].flatten()
z_coords = linear_combinations[:, :, :, 2].flatten()# 繪制生成子空間
fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.scatter(x_coords, y_coords, z_coords, s=1, c='blue', alpha=0.5)
ax.quiver(0, 0, 0, v1[0], v1[1], v1[2], color='red', label='v1')
ax.quiver(0, 0, 0, v2[0], v2[1], v2[2], color='green', label='v2')
ax.quiver(0, 0, 0, v3[0], v3[1], v3[2], color='blue', label='v3')
ax.set_title('生成子空間 (三維)')
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.legend()
plt.show()
