高等數學學習筆記 ? 一元函數微分的基礎知識

1.? 微分的定義

（1）定義：設函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 的某領域內有定義，取 $x_{0}$ 附近的點 $x_{0}+\Delta x$ ，對應的函數值分別為 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，若 $\Delta y$ 可以表示成 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，則稱函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 是可微的。

? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 $\Rightarrow$ ?若函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 是可微的，則 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ 可以表達為 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 】

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 稱 $A\Delta x$ 為函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處，改變量 $\Delta y$ 的微分。記作：可微： $dy=A\Delta x$ ；微分： $dy|_{x=x_{0}}=A\Delta x$ 。

備注：

①：通過繪圖理解： $A$ 是與 $\Delta x$ 無關的量，但與 $x_{0}$ 有關， $A$ 就是函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處的導數，即 ${f}'(x_{0})$ 。

②：通過繪圖理解：根據 $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ 可知，當 $\Delta x\rightarrow 0$ 時， $dy\rightarrow \Delta y$ ，則有 $dy \approx\Delta y$ 。

③：函數的微分 $dy$ 是函數的增量 $\Delta y$ 主要部分，且是 $\Delta x$ 的線性函數，故稱函數的微分 $dy$ 是函數的增量 $\Delta y$ 的線性主部。

④：通常把自變量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 稱為自變量的微分，記作 $dx$ ，即 $dx=\Delta x$ 。

⑤：對于一元函數而言：可導即可微，可微即可導。

⑥：一元函數求微分的表達式： $dy = {f}'(x)dx$ 。 $\Rightarrow$ ?想求微分，先求導，然后左右兩邊同乘 $dx$ 。

（2）幾何意義：通過繪圖理解：函數的微分 $dy$ 是函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處的切線對應于 $\Delta x$ 在縱坐標上的增量。

備注： $\Delta y$ ：屬于精確值； $dy$ ：屬于 $\Delta y$ 的近似值。即： $dy \approx\Delta y$ 。

（3）實際應用：

? ①：根據 $\Delta y \approx dy={f}'(x_{0})\Delta x$ ，即： $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx {f}'(x_{0})\Delta x$ 可得： $f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+{f}'(x_{0})\Delta x$ ，

? ? ? ? ? $\Rightarrow$ ?可以把線性函數的數值計算結果作為原本函數的數值的近似值( $\Delta x$ 的值選取要盡可能的小)。

? ②：根據 $\Delta y=dy+o(\Delta x)$ 可知，當 $|\Delta x|$ 比較小時， $|\Delta y-dy|$ 比 $|\Delta x|$ 要小的多(高階無窮小)，因此函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 附近可以

? ? ? ? ?用切線來近似代替曲線段。它的直接應用就是函數的線性化。

? ? ? ? ? $\Rightarrow$ ?當 $|\Delta x|$ 比較小時，則有： $sinx\approx x$ ， $tanx\approx x$ ， $e^{x} \approx 1+x$ ， $ln(1+x)\approx x$ ， $(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ 。

導數與微分的區別：導數解決的是函數的變化率的問題；微分解決的是函數的增量的問題。

2.? 微分的中值定理

（1）費馬引理：設函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 的某領域內有定義，且在 $x_{0}$ 點處可導，對于點 $x_{0}$ 的某領域內任意 $x$ ，若 $f(x)\leq f(x_{0})$ 或

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $f(x)\geq f(x_{0})$ ，則函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 處的導數為零，即 ${f}'(x_{0})=0$ (斜率為零)。

（2）羅爾中值定理：設函數 $f(x)$ 在①：閉區間 $[a,b]$ 連續，②：開區間 $(a,b)$ 可導，③： $f(a)=f(b)$ ，則在開區間 $(a,b)$ 上，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?至少存在一點 $\xi \in (a,b)$ ，使得 ${f}'(\xi )=0$ 。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $\Rightarrow$ ?說明函數 $f(x)$ 圖像的切線斜率，存在為0的情況。

（3）拉格朗日中值定理：設函數 $f(x)$ 在①：閉區間 $[a,b]$ 連續，②：開區間 $(a,b)$ 可導，則在開區間 $(a,b)$ 上，至少存在一點 $\xi \in (a,b)$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 使得 $f(b)-f(a)={f}'(\xi )(b-a)$ 。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $\Rightarrow$ ?說明函數 $f(x)$ 圖像的切線的斜率與由點 $a$ 和點 $b$ 所確定的直線的斜率，存在相等的情況。

備注：

①：設函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上連續、可導且導數恒為0，則函數 $f(x)\equiv C$ ( $C$ 為常數)。

②：當 $x>0$ 時，有： $\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$ 。

（4）柯西中值定理：設函數 $f(x)$ 與 $g(x)$ 在①：閉區間 $[a,b]$ 連續，②：開區間 $(a,b)$ 可導，③： $\forall x\in (a,b)$ ， ${g}'(x)\neq 0$ ，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則在開區間 $(a,b)$ 上，至少存在一點 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{?{f}'(\xi )}{?{g}'(\xi )}$ 。

備注：柯西中值定理與拉格朗日中值定理最終表示的含義都是一樣的。

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