計算機的錯誤計算（三十四）

摘要? 用錯數預測? $a^x$ （或?pow(a,x)）函數的結果中含有的錯誤數字的個數，并與Visual Studio 和Excel 的輸出中含有的錯誤位數相比較。結果顯示，預測與實際一致。

? ? ? ?對于? $a^x$ （或?pow(a,x)）函數，根據? $a$ 與? $x$ 的不同，有多種計算算法。其中一種計算方法是利用等價公式? $e^{x\ln(a)}$ ?來計算。

例1.? 假設計算機利用? $e^{-99.88\times\ln(90)}$ ?計算? $90^{-99.88}$ ?，請預測計算機的輸出中可能存在的錯誤數字個數。

? ? ? ?計算機首先計算? $(-99.88)\times\ln(90)$ ?的值，然后計算? $e^{(-99.88)\times\ln(90)}$ .?

? ? ? ?根據計算機的錯誤計算（二十七）知，前者即自變量的錯誤數字個數會影響到后者即函數值的結果的錯誤數字個數。具體有關系： $j-k\approx m+m_1-m_2\,.$ ? 其中等號左邊的 2個變量依次表示函數值與自變量的錯誤數字個數，右邊 3個變量依次代表導數、自變量以及函數值的擴展整數位數（擴展的意思是可以為任意整數）。

? ? ? ?對于函數? $e^x$ ?來說，其導函數不變，因此， $m=m_2\,.$ ? 這時，上式變成了? $j-k\approx m_1\,,$ ?即? $j\approx k+m_1\,.$ ? 它意味著函數值的結果的錯誤數字個數約等于自變量的錯誤數字個數與自變量的整數位數的和。

? ? ? ?下面給出計算機計算自變量? $(-99.88)\times\ln(90)$ ?值的過程，以便獲得上述兩個值 $k$ ?與 $m_1\,.$

$(-99.88)_{10}\times\ln((90)_{10})\\ \approx (-\underbrace{1100011.1110000101000111101011100001010001111010111000}_{\textup{53 bits}})_2\\\times\ln((1011010)_2)\\ =(-99.8799999999999954525264911353588104248046875)_{10}\\\times\ln((90)_{10})\\ =(-99.8799999999999954525264911353588104248046875)_{10}\\\times(4.499809670330265066808481928529415616896...)_{10}\\\approx (-99.8799999999999954525264911353588104248046875)_{10}\\\times(\underbrace{100.01111111111100111000011011001100010010110000010000}_{\textup{53 bits}})_{2}\\= (-99.8799999999999954525264911353588104248046875)_{10}\\\times(4.4998096703302650212208391167223453521728515625)_{10}\\= (-449.4409898725868498567721402184132729378729...875)_{10}\\\approx (-111000001.01110000111001001011011001011000101000001011)_2\\= (-\underbrace{\textcolor{blue}{449.440989872586}\textcolor{red}{\,8}}_{\textup{16 digits}}4019252541474997997283935546875)_{10}\,.$

這樣，上述藍色與紅色數字的組合為雙精度下 16位的結果；而其整數位數為 3位，即? $m_1=3\,.$

? ? ? ?另外，由 ISReal 軟件?可得 16位的正確結果是? $-\textcolor{blue}{449.440989872586}\textcolor{red}{\,9}\,.$ ? 通過比較上述計算值與真實值，容易看出只有兩個紅色數字不同，因此 $k=1$ 。于是，若利用 $e^{(-99.88)\times\ln(90)}$ ?計算 $90^{-99.88}$ ，則計算機的輸出中會有約? $j\approx k+m_1=1+3=4$ ?位錯誤數字。?

例2.? 在 Windows 10下，利用 Excel?2019MSO 以及 Visual Studio 2010 計算 $90^{-99.88}$ ?的值。

? ? ? ?首先，?由 ISReal 軟件?知，16位正確的近似值為? $6.46038138673\textcolor{red}{\,4883}\textup{\,e}-196\,.$

? ? ?（1）在 Excel 的單元格中分別輸入：

$=\textup{EXP}(-99.88*\textup{LN}(90))\\ =\textup{POWER}(90,-99.88)$

則輸出的結果完全相同，并均有 4位錯誤數字。

? ? ? ?下面是它們的貼圖：

上面是第1張圖.

上面是第2張圖.

? ? ?（2）在 Visual Studio 2010中運行下列兩條語句

? $printf("\%.15e",exp(-99.88*log((double)90)));\\ printf("\%.15e",pow((double)90,(double)-99.88));$

則輸出分別為?6.460381386735107e-196 與 6.460381386735015e-196.

? ? ? ?于是，兩個結果同樣均有 4位錯誤數字。?

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