小學奧數-約數與倍數

約數和倍數：若整數 a 能夠被 b 整除，a 叫做 b 的倍數，b 就叫做 a 的約數。

公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個叫做這幾

個數的最大公約數。a,b兩數的最大公約數記作(a,b)。最小公倍數記作[a,b]。

例如：12 的約數有 1、2、3、4、6、12

18 的約數有：1、2、3、6、9、18

12 和 18 的公約數有：1、2、3、6

12 和 18 最大的公約數是：6

公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾

個數的最小公倍數。

12 的倍數有：12、24、36、48……

18 的倍數有：18、36、54、72……

12 和 18 的公倍數有：36、72、108……

12 和 18 最小的公倍數是 36

約數數量：

一個數可表示為manboc…其中m，n，o為質數。

約數的數量就是選不同指數組合的數量。其中m的指數可以選0到a，共a+1種。n的指數有b+1種。

所以約數數量=(a+1)*(b+1)*(c+1)*…

幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

兩個數的差是最大公約數的倍數。最大公約數小于等于兩個數的差。

幾個數都乘以一個自然數 k，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以k。

兩個數分別乘以互質的兩個數，最大公約數不變。

完全平方數的約數個數為奇數，其它數的約數個數為偶數

最大公約數*最小公倍數=兩個數的乘積

設x=ka，y=kb。其中k是最大公約數。

因為a，b互質。a，b最小公倍數為a*b。

xy最小公倍數為kab。kab*k=x*y

例題1：已知兩數最大公約是6，最小公倍是90，其中一個數是18，另一個數是多少？

答：6*90/18=30

分數最小公倍數=分子最小公倍數/分母最大公約數

證明※※※※※

設兩個數最簡分數為a/b,c/d。最小公倍數為x/y。(x/y)/(a/b), (x/y)/(c/d)為正整數。(

(x/y)/(a/b)=(x*b)/(y*a)。因為ab不能約分，xy不能約分，則x是a的倍數，b是y的倍數

同理，x是c的倍數，b是x的倍數。

說明x是a,c的公倍數。y是b,d的公約數。

要求x/y最小。則x是a,c的最小公倍數，y是b,d的最大公約數。

例題1：8/9,4/15最小公倍數

方法1：通分40/45,12/45。分子最小公倍數為120。結果為120/45=8/3

方法2：[8,4]/(9,15)=8/3

分數最大公約數=分子最大公約數/分母最小公倍數

例題1：8/9,4/15最大公約數

答：(8,4)/[9,15]=4/45

利用差求公約數

例題1：(357,391)

分析：兩個數比較大，但差比較少。先求差=391-357=34。34為質數。則最大公約數是1或34。兩個數除以34，能整除。最大公約數為34

例題2：兩個數差是6，兩個數的約數可能是？

答：1,2,3,6

約數個數

例題1：72約數個數。其中多少個約數是3的倍數

答：72=2^3*3^2。約數個數=(3+1)*(2+1)=12。約數是3的倍數，則至少選一個3。3有1,2共2種選法，2有0,1,2,3共4種選法，共2*4=8

約數拉燈※※※※

例題1： 一間屋子里有100盞燈排成一行，按從左至右的順序編號1、2、3、4、5…99、100。每盞燈都有一個開關。開始100盞燈全部關著。現有100個學生，第1個學生把1的倍數的燈全部拉一下，第2個學生把2的倍數燈全部都拉一下，第3個學生把3的倍數燈全部都拉一下…第100個學生把100的倍數燈全部都拉一下，這時燈有多少是開著的？

答：一個數有奇數個約數，最后會開著。所以序號為完全平方數的燈最后會開著。1到100有10個完全平方數。所以最后有10盞燈開著。

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