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🍇Python運動學可視化

運動學是力學的一個分支，涉及物體的運動，而不考慮引起運動的力。給定一個描述粒子位置矢量隨時間變化的方程，就可以計算各種運動學屬性。最重要的是速度和加速度。如果粒子沿直線運動，則運動是直線運動。類似地，沿著彎曲路徑行進的粒子也進行曲線運動。

$x$、$y$ 和 $z$ 笛卡爾坐標系定義了粒子在歐幾里得空間中的空間位置。方程 1 顯示了粒子位置隨時間的變化。秒 (s) 是時間單位，米 (m) 是位置單位。
$$\vec{r}(t)=x(t)\hat{ı}+y(t)\hat{ȷ}+z(t)\hat{k}(1)$$
曲率半徑 (rho) 是從粒子 P 到路徑 C 的曲率中心的距離。當粒子在空間中移動時，曲率半徑會根據描述運動的函數而變化。

速度是由方程 2 表示的位置的一階導數。速度矢量與粒子的軌跡相切。

$$\vec{v}(t)=\frac{dx(t)}{dt}\hat{ı}+\frac{dy(t)}{dt}\hat{ȷ}+\frac{dz(t)}{dt}\hat{k}(2)$$
該方向上的單位矢量是單位切矢量，由公式 3 給出。它等于速度矢量除以幅值。

$${\hat{u}}_t=\frac{\stackrel{?}{v}}{v}(3)$$
向量有方向和大小。公式 4 顯示了如何計算 3 維位置矢量的大小。它可以應用于任何向量并擴展到任意數量的維度。

$$\Vert \vec{r}\Vert =r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}(4)$$
加速度是位置的二階導數或速度的一階導數。法向分量和切向分量包括加速度。

• 切向加速度與速度方向相同。
• 法向加速度是朝著粒子路徑的曲率中心的方向。

方程 5 顯示了加速度的兩個分量。單位切向加速度矢量和法向加速度矢量是正交單位矢量。因此，它們形成一個稱為密切平面的平面。

$$\vec{a}(t)=\underset{\text{切向?}}{\underbrace{a_t{\hat{u}}_t}}+\underset{\text{法向?}}{\underbrace{a_n{\hat{u}}_n}}(5)$$
單位副法向量垂直于密切平面，構成右手正交系。因此，方程 6 給出了單位副法線。
$${\hat{u}}_b={\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n=\frac{\vec{v}\times \vec{a}}{\Vert \vec{v}\times \vec{a}\Vert }(6)$$
單位法線指向曲率中心，這意味著曲率中心 C 位于密切平面內。因此，相對于粒子 P，曲率中心 C 由方程 7 給出。
$${\vec{r}}_{c/p}=\rho {\hat{u}}_n(7)$$
向量相加給出了 C 的位置向量，如公式 8 所示。
$${\vec{r}}_c=\vec{r}+{\vec{r}}_{c/p}(8)$$

Python模擬三維運動學

模擬從 0 秒開始，360 秒后結束。以下代碼顯示了時間線束參數。

t0 = 0
tf = 720
dt = 1
time = np.arange(t0, tf, dt, dtype='float')

方程 9 定義了粒子的位置如何隨時間變化，從而定義了軌跡。
$$\vec{r}(t)=\sin (3t)\hat{ı}+\cos (t)\hat{ȷ}+\cos (2t)\hat{k}(9)$$
以下顯示了該符號運動方程以及速度和加速度導數的聲明。還提出了切向加速度方程，它是速度大小的導數。

t = sp.symbols('t')
R = [sp.cos(t), sp.sin(t), t / 5] 
V = vector_derivative(R, t)
A = vector_derivative(V, t)
At = vector_magnitude(V).diff(t)

矢量方程

def vector_derivative(vector, wrt):return [component.diff(wrt) for component in vector]def vector_magnitude(vector):magnitude = 0for component in vector:magnitude += component ** 2return magnitude ** (1 / 2)def unit_vector(from_vector_and_magnitude=None, from_othogonal_vectors=None, from_orthogonal_unit_vectors=None):if from_vector_and_magnitude is not None:vector_a, magnitude = from_vector_and_magnitude[0], from_vector_and_magnitude[1]return [component / magnitude for component in vector_a]if from_othogonal_vectors is not None:vector_a, vector_b = from_othogonal_vectors[0], from_othogonal_vectors[1]vector_normal = np.cross(vector_a, vector_b)return unit_vector(from_vector_and_magnitude=(vector_normal, vector_magnitude(vector_normal)))if from_orthogonal_unit_vectors is not None:u1, u2 = from_orthogonal_unit_vectors[0], from_orthogonal_unit_vectors[1]return np.cross(u1, u2)def evaluate_vector(vector, time_step):numerical_vector = [float(component.subs(t, time_step).evalf()) for component in vector]magnitude = vector_magnitude(numerical_vector)return numerical_vector, magnitude

定義了相關的矢量函數后，就可以開始隨時間傳播。以下顯示了用于運行模擬的代碼。

propagation_time_history = []for ti in time:ti_r = d2r(ti)r, r_mag = evaluate_vector(R, ti_r)v, v_mag = evaluate_vector(V, ti_r)v_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(v, v_mag)]a_theta = [r2d(angle) for angle in direction_angles(a, a_mag)]ut = unit_vector(from_vector_and_magnitude=(v, v_mag))ub = unit_vector(from_othogonal_vectors=(v, a))un = unit_vector(from_orthogonal_unit_vectors=(ub, ut))at = float(At.subs(t, ti_r).evalf())rc = r + (rho * un)rc_mag = vector_magnitude(rc)iteration_results = {'t': ti, 'rx': r[0], 'ry': r[1], 'rz': r[2], 'r_mag': r_mag,'vx': v[0], 'vy': v[1], 'vz': v[2], 'v_mag': v_mag,'rcx': rc[0], 'rcy': rc[1], 'rcz': rc[2], 'rc_mag': rc_mag, 'rho': rho,'ax': a[0], 'ay': a[1], 'az': a[2], 'a_mag': a_mag, 'an': an, 'at': at,'ubx': ub[0], 'uby': ub[1], 'ubz': ub[2],'utx': ut[0], 'uty': ut[1], 'utz': ut[2],'unx': un[0], 'uny': un[1], 'unz': un[2]}propagation_time_history.append(iteration_results)df = pd.DataFrame(propagation_time_history)

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