經過不懈的努力， 2024年江蘇省研究生數學建模競賽B題火箭煙幕彈運用策略優化論文和代碼已完成，代碼為B題全部問題的代碼，論文包括摘要、問題重述、問題分析、模型假設、符號說明、模型的建立和求解（問題1模型的建立和求解、問題2模型的建立和求解、問題3模型的建立和求解、問題4模型的建立和求解）、模型的評價等等

2024年江蘇省研究生數學建模競賽ABC題論文和代碼獲取↓↓↓
https://www.yuque.com/u42168770/qv6z0d/qh4iwynq2co2gy3c

摘要

2024年江蘇省研究生數學建模競賽B題論文摘要如下：本研究針對現代戰爭中光電制導武器對重要目標的威脅，深入探討了火箭煙幕彈的運用策略優化問題。研究通過構建一系列復雜的數學模型和優化算法，分別解決了靜態單目標、靜態多目標和動態多目標三種不同場景下的煙幕彈運用策略優化問題。這些模型和算法不僅考慮了煙幕的擴散過程、風力影響、導彈的飛行軌跡等多個因素，還引入了隱真示假和移動目標防護等復雜戰術要求，為實際作戰中的煙幕彈使用提供了科學的理論支持和決策依據。

針對問題一，本研究建立了一個多維動態煙幕優化模型。該模型使用三維高斯分布來描述煙幕的擴散過程，考慮了風力影響和時間演化。模型的目標函數旨在最大化對目標的平均遮蔽效果，同時最小化煙幕彈的使用量。為求解這個復雜的非線性優化問題，研究采用了一種混合元啟發式算法，結合了粒子群優化和模擬退火算法的優勢。算法中引入了自適應參數調整機制，如動態調整交叉和變異概率，以增強算法的魯棒性和適應性。求解結果顯示，最優策略使用了三個煙幕彈，其發射參數分別為（見完整版本），其中參數依次為發射仰角（弧度）、方位角（弧度）、初速度（m/s）和起爆時間（s）。這種配置反映了一個多層次、時序合理的防護策略，在不同高度和時間段提供有效遮蔽。模型的創新點在于將復雜的煙幕擴散過程與導彈軌跡預測相結合，并通過混合元啟發式算法有效求解高維非線性優化問題。

問題二引入了隱真示假的要求，將問題擴展為靜態多目標優化問題。研究提出了一個多目標動態煙幕優化模型（MDSOM），同時考慮最大化對真目標的遮蔽效果和最大化對假目標的暴露程度。

（后略，見完整版本）

關鍵詞：火箭煙幕彈、運用策略優化、多目標優化、動態優化、混合元啟發式算法、NSGA-II、模型預測控制、隱真示假、移動目標防護

問題重述

問題分析

2024年江蘇省研究生數學建模競賽（蘇研賽）B題是關于火箭煙幕彈運用策略優化的問題。整體來看，題目要求建立數學模型來設計最優的火箭煙幕彈運用策略，包括煙幕彈的起爆點、起爆時間和最優耗彈量等。題目分為三個子問題，涉及不同的保衛目標和場景。問題的核心在于如何在給定條件下，通過合理布置煙幕來有效干擾來襲導彈，同時考慮到各種限制條件和影響因素。整體分析需要考慮導彈的飛行軌跡、煙幕的擴散和運動、目標的位置和移動等多個方面，并在此基礎上進行優化設計。

問題一分析

問題一分析涉及保衛固定陣地上的一輛雷達車。這個問題的關鍵在于如何在雷達車周圍合理布置煙幕，以有效干擾來襲導彈的探測。分析思路可以從導彈的飛行軌跡和視場角入手，計算出需要遮蔽的關鍵區域。然后考慮煙幕彈的發射參數和起爆時間，使得形成的煙幕能夠最大程度地覆蓋這些關鍵區域。使用的模型包括導彈飛行軌跡模型、煙幕擴散模型和視線遮蔽模型等。優化算法可以考慮使用粒子群優化或遺傳算法來尋找最佳的煙幕彈發射參數。同時，需要考慮無風和有風兩種情況下煙幕的運動特性，這需要引入流體力學模型來描述煙幕的運動和擴散過程。

問題二分析

問題二分析在問題一的基礎上增加了隱真示假的要求。這個問題的難點在于如何在有效遮蔽真實目標的同時，盡量不遮蔽假目標。分析思路可以從煙幕的形狀和位置入手，設計一種能夠在真假目標之間形成合適遮蔽區域的煙幕布置方案。使用的模型包括多目標優化模型，需要同時考慮真目標的遮蔽效果和假目標的暴露程度。算法方面可以考慮使用多目標優化算法，如NSGA-II或MOEA/D，來尋找在兩個目標之間的最佳平衡點。同時，需要考慮煙幕的動態變化過程，需要引入時間序列模型來描述煙幕隨時間的演變，以確保在整個干擾過程中都能維持良好的隱真示假效果。

問題三分析

問題三分析將保衛目標從靜態變為動態，考慮了一個由6輛任務車組成的移動車隊。這個問題的復雜性在于目標的運動給煙幕布置帶來的額外挑戰。分析思路可以從車隊的運動軌跡和導彈的相對運動入手，預測在不同時刻車隊和導彈的相對位置關系。然后設計一種能夠在車隊移動過程中持續提供有效遮蔽的煙幕布置策略。使用的模型包括運動目標跟蹤模型、動態煙幕覆蓋模型等。算法方面可以考慮使用模型預測控制(MPC)或動態規劃等方法，以在車隊運動的整個過程中實現最優的煙幕防護效果。同時，需要考慮車隊內部各車輛的相對位置和重要性，需要引入車隊隊形優化模型，以在有限的煙幕資源下實現對整個車隊的最佳防護。

模型假設

以下是2024年江蘇省研究生數學建模競賽問題1到問題3的模型建立與求解過程中使用的主要模型假設，這些假設簡化了問題，使其可以用數學方法進行處理，但同時也限制了模型的某些方面：

1. 導彈運動假設：在所有問題中，我們假設導彈以恒定速度直線飛行，初始高度為900米，這簡化了導彈的運動模型，但不能完全反映實際導彈的復雜飛行軌跡和機動能力。

2. 煙幕擴散模型：我們采用了三維高斯分布模型來描述煙幕的擴散過程，這個模型假設煙幕在空間中均勻擴散，并隨時間衰減，這種假設雖然簡化了計算，但無法完全捕捉復雜環境下煙幕的實際行為。

3. （后略，見完整版本）

這些假設為我們提供了一個可處理的數學模型，使我們能夠應用優化算法來求解問題，但在將結果應用到實際情況時，需要考慮這些假設的局限性，并根據具體情況進行適當的調整和驗證。

符號說明

以下是問題1-問題3的模型建立與求解過程中使用的主要符號及其說明：

這個表格包含了模型中使用的主要符號及其含義。這些符號在建模過程中用于描述系統的各個組成部分，包括煙幕的特性、目標的運動、導彈的追蹤行為以及優化目標等。

模型的建立與求解

問題一模型的建立與求解

思路分析

針對2024年江蘇省研究生數學建模競賽問題一中保衛固定陣地上一輛雷達車的情況，我們需要設計一個最優的火箭煙幕彈運用策略。這個問題的核心在于如何在給定的條件和約束下，通過合理布置煙幕來有效干擾來襲導彈的探測能力，從而保護雷達車。在進行思路分析時，我們首先需要考慮導彈的飛行軌跡和視場角，這兩個因素決定了導彈在飛行過程中探測到的區域。基于這些信息，我們可以確定需要被煙幕遮蔽的關鍵區域。其次，我們需要分析煙幕彈的性能參數，包括其發射方式、飛行特性、起爆條件以及煙幕的形成和擴散過程。這些因素將直接影響煙幕的有效覆蓋范圍和持續時間。在考慮這些因素的基礎上，我們需要設計一種策略，通過調整煙幕彈的發射參數（如發射角度和速度）以及起爆時間，使得形成的煙幕能夠在正確的時間和位置有效遮蔽導彈的視線。同時，我們還需要考慮題目中提到的一些具體約束條件，如煙幕彈需要在距保衛目標至少100m外起爆，以及煙幕的有效干擾時間和降沉時間等。此外，無風和有風（風速為3m/s）兩種情況下煙幕的運動特性也需要分別考慮，這涉及到流體力學模型的引入。綜合考慮這些因素，我們可以構建一個多目標優化模型，旨在最大化煙幕對導彈的干擾效果，同時最小化所需的煙幕彈數量。

多維動態煙幕優化模型建立

基于上述思路分析，我們提出一個多維動態煙幕優化模型來解決問題一。這個模型考慮了導彈的飛行軌跡、煙幕的動態擴散過程、風力影響以及多個優化目標。首先，我們建立一個三維坐標系，以雷達車所在位置為原點，導彈初始飛行方向為x軸正方向，垂直地面向上為z軸正方向。在這個坐標系中，我們可以描述導彈的飛行軌跡、煙幕彈的發射軌跡以及煙幕的擴散過程。導彈的飛行軌跡可以用一組微分方程來描述，考慮到導彈會進行機動，我們引入一個機動模型來模擬的軌跡變化。煙幕彈的發射軌跡可以用拋物線方程來描述，其參數包括發射角度和初始速度。煙幕的擴散過程則可以用一個時變的三維高斯分布模型來描述，其中心隨時間按照風力方向移動，標準差隨時間增大以模擬煙幕的擴散。我們定義一個遮蔽效果函數，用于量化在任意時刻煙幕對導彈視線的遮蔽程度。這個函數考慮了煙幕的密度分布、導彈的視場角以及導彈與目標之間的相對位置關系。優化目標包括最大化整個過程中的平均遮蔽效果和最小化所需的煙幕彈數量。約束條件包括煙幕彈的起爆位置限制、煙幕的有效持續時間以及覆蓋范圍要求等。考慮到問題的復雜性和非線性特性，我們采用一種基于粒子群優化和模擬退火相結合的混合元啟發式算法來求解這個優化問題。

模型數學公式與解釋

下面詳細描述多維動態煙幕優化模型的數學公式。首先，我們定義坐標系和基本參數：

$$\begin{array}{rl}& (x,y,z):\text{三維笛卡爾坐標系}\\ & t:\text{時間變量}\\ & {\mathbf{p}}_m(t)=(x_m(t),y_m(t),z_m(t)):\text{導彈在時間t的位置}\\ & {\mathbf{p}}_t=(0,0,0):\text{雷達車（目標）的位置}\\ & {\mathbf{v}}_m(t)=(v_{mx}(t),v_{my}(t),v_{mz}(t)):\text{導彈在時間t的速度}\\ & \theta :\text{導彈視場角}\\ & \mathbf{w}=(w_x,w_y,0):\text{風速向量}\end{array}$$

導彈的運動方程可以表示為：

$$\begin{array}{rl}& \frac{d{\mathbf{p}}_m(t)}{dt}={\mathbf{v}}_m(t)\\ & \frac{d{\mathbf{v}}_m(t)}{dt}={\mathbf{a}}_m(t)\end{array}$$

其中${\mathbf{a}}_m(t)$是導彈的加速度，可以根據假設的機動模型來定義。

對于每個煙幕彈i，我們定義以下參數：

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_i:\text{發射仰角}\\ & {\beta }_i:\text{發射方位角}\\ & v_{0i}:\text{初始速度}\\ & t_{bi}:\text{起爆時間}\end{array}$$

煙幕彈的運動方程可以表示為：

$$\begin{array}{rl}& x_i(t)=v_{0i}\cos {\alpha }_i\cos {\beta }_i?t\\ & y_i(t)=v_{0i}\cos {\alpha }_i\sin {\beta }_i?t\\ & z_i(t)=v_{0i}\sin {\alpha }_i?t?\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

其中g是重力加速度。

煙幕的密度分布可以用三維高斯分布來描述：

$${\rho }_i(\mathbf{p},t)=\frac{M}{(2\pi {)}^{3/2}{\sigma }_x(t){\sigma }_y(t){\sigma }_z(t)}\exp \left(?\frac{(x?x_c(t){)}^2}{2{\sigma }_x(t{)}^2}?\frac{(y?y_c(t){)}^2}{2{\sigma }_y(t{)}^2}?\frac{(z?z_c(t){)}^2}{2{\sigma }_z(t{)}^2}\right)$$

其中：（解釋略）

現在我們定義遮蔽效果函數$E(t)$：（后略，見完整版本）

問題一模型的求解

為了求解問題1的多維動態煙幕優化模型，我們將使用MATLAB編寫一個詳細的程序。這個程序將利用MATLAB的Global Optimization Toolbox中的模擬退火函數來優化煙幕彈的發射策略。以下是部分MATLAB代碼（完整代碼見完整版本）：

% 問題1的煙幕優化模型求解% 設置隨機數種子以確保結果可重復
rng(42);% 定義常量
global V_M H_M R_T THETA G T_MAX DT N_MAX W_X W_YV_M = 300;     % 導彈速度 (m/s)
H_M = 900;     % 導彈初始高度 (m)
R_T = 10000;   % 導彈初始徑向距離 (m)
THETA = 30 * pi / 180;  % 導彈視場角 (弧度)
G = 9.8;       % 重力加速度 (m/s^2)
T_MAX = 40;    % 最大仿真時間 (s)
DT = 0.1;      % 時間步長 (s)
N_MAX = 5;     % 最大煙幕彈數量
W_X = 3;       % X方向風速 (m/s)
W_Y = 0;       % Y方向風速 (m/s)% 運行模擬退火算法
（完整代碼見完整版本）
% 分析最優解
analyze_solution(x_opt);% 目標函數
function f = objective_function(x)global T_MAX DTt = 0:DT:T_MAX;E = calculate_obscuration(x, t);（完整代碼見完整版本）  % 最大化遮蔽效果，最小化煙幕彈數量
end% 非線性約束
function [c, ceq] = nonlinear_constraints(x)global R_TN = sum(x(4:4:end) > 0);  % 實際使用的煙幕彈數量burst_positions = calculate_burst_positions(x);distances = sqrt(sum(burst_positions.^2, 2));c = [100 - distances];  % 起爆點距離目標至少100mceq = [];
end% 初始解
function x0 = initial_solution()global N_MAXx0 = zeros(1, N_MAX * 4);for i = 1:N_MAX（完整代碼見完整版本）end
end% 計算遮蔽效果
function E = calculate_obscuration(x, t)global V_M H_M R_T THETAN = sum(x(4:4:end) > 0);  % 實際使用的煙幕彈數量E = zeros(size(t));for i = 1:length(t)missile_pos = [R_T - V_M * t(i), 0, H_M];target_pos = [0, 0, 0];los_vector = target_pos - missile_pos;los_length = norm(los_vector);los_direction = los_vector / los_length;% 計算視線上的積分num_samples = 100;sample_points = missile_pos + los_vector * ((1:num_samples) - 0.5) / num_samples;density_sum = 0;for j = 1:Nif t(i) >= x(4*j)  % 煙幕彈已經爆炸（完整代碼見完整版本）endendE(i) = 1 - exp(-density_sum / num_samples);end
end% 計算煙幕密度
function rho = smoke_density(points, center, sigma)diff = points - center;r_squared = sum(diff.^2, 2);rho = exp(-r_squared / (2 * sigma^2)) / ((2*pi)^1.5 * sigma^3);
end

問題一求解結果分析

運行代碼后，我們得到了以下結果：（數值表格略，見完整版本）

根據2024年江蘇省研究生數學建模競賽問題1的最優解數據，我們可以對這個火箭煙幕彈運用策略進行詳細的解釋和分析：

首先，這個最優解包含了三個煙幕彈的發射參數，每個煙幕彈都有其獨特的發射仰角、發射方位角、初速度和起爆時間，這種差異化的配置表明優化算法試圖通過不同的煙幕布置來實現最佳的整體遮蔽效果。

具體分析每個煙幕彈的參數：

第一個煙幕彈的發射仰角較小（….），這意味著它會在較低的高度釋放，旨在為目標提供近距離的底層遮蔽。其發射方位角（見完整版本），表明它是向后方發射的，這是為了在導彈接近目標時形成一道防護屏障。初速度（省略）相對較高，這有助于快速形成有效的煙幕。起爆時間（42.935秒）處于中后期，這是為了在導彈接近目標的關鍵時刻提供保護。
（后略，見完整版本）

問題二模型的建立與求解

思路分析

在問題一的基礎上，問題二引入了一個新的挑戰：在對雷達車實施有效遮蔽的同時，還需盡使得位于保衛目標左前方150m處的假目標不被煙幕遮蔽。這一要求使得問題變得更加復雜，因為我們現在需要同時考慮兩個相互矛盾的目標：最大化對真目標的遮蔽效果，同時最小化對假目標的遮蔽效果。這種多目標優化問題要求我們在兩個目標之間尋找一個合適的平衡點，這通常會導致一系列的帕累托最優解，而不是一個單一的最優解。考慮到問題的復雜性和多目標的特性，我們選擇使用多目標遺傳算法（MOGA）來解決這個問題。

多目標動態煙幕優化模型建立

基于上述思路分析，我們提出一個多目標動態煙幕優化模型（Multi-objective Dynamic Smoke Screen Optimization Model，MDSOM）來解決問題二。這個模型在問題一的基礎上進行了擴展，主要包括以下幾個方面的改進：首先，我們在場景中加入了假目標的位置，定義為$(x_f,y_f,z_f)=(?150\cos \theta ,?150\sin \theta ,0)$，其中$\theta$是導彈與車隊前進方向的夾角。其次，我們定義了兩個目標函數：$f_1(x)$表示對真目標的平均遮蔽效果，$f_2(x)$表示對假目標的平均暴露程度。我們的優化目標是最大化$f_1(x)$和$f_2(x)$。在MDSOM中，我們保留了問題一中的所有約束條件，包括煙幕彈的起爆位置限制、煙幕的有效持續時間以及覆蓋范圍要求等。模型的決策變量仍然包括每個煙幕彈的發射角度（${\alpha }_i$和${\beta }_i$）、初始速度（$v_{0i}$）和起爆時間（$t_{bi}$）。為了更準確地模擬煙幕的擴散過程，我們引入了一個改進的煙幕擴散模型，考慮了風力的影響和煙幕密度的時間衰減。這個模型可以表示為：

$${\rho }_i(\mathbf{p},t)=\frac{M_i}{(2\pi {)}^{3/2}{\sigma }_x(t){\sigma }_y(t){\sigma }_z(t)}\exp \left(?\frac{(x?x_c(t){)}^2}{2{\sigma }_x(t{)}^2}?\frac{(y?y_c(t){)}^2}{2{\sigma }_y(t{)}^2}?\frac{(z?z_c(t){)}^2}{2{\sigma }_z(t{)}^2}\right)?e^{?\lambda (t?t_{bi})}$$

其中，$M_i$是第$i$個煙幕彈的初始煙幕質量，${\sigma }_x(t)$、${\sigma }_y(t)$和${\sigma }_z(t)$是隨時間變化的擴散系數，$(x_c(t),y_c(t),z_c(t))$是煙幕中心的位置，$\lambda$是煙幕密度的衰減系數。煙幕中心的運動受風力影響，可以用以下方程描述：

$$\begin{array}{rl}{x}_c(t)& =x_i(t_{bi})+v_{xi}(t?t_{bi})+\frac{1}{2}{a}_x(t?t_{bi}{)}^2+w_x(t?t_{bi})\\ y_c(t)& =y_i(t_{bi})+v_{yi}(t?t_{bi})+\frac{1}{2}{a}_y(t?t_{bi}{)}^2+w_y(t?t_{bi})\\ z_c(t)& =z_i(t_{bi})+v_{zi}(t?t_{bi})?\frac{1}{2}g(t?t_{bi}{)}^2+w_z(t?t_{bi})\end{array}$$

其中，$(x_i(t_{bi}),y_i(t_{bi}),z_i(t_{bi}))$是煙幕彈的起爆位置，$(v_{xi},v_{yi},v_{zi})$是煙幕初始速度，$(a_x,a_y,0)$是水平方向的加速度（考慮空氣阻力），$g$是重力加速度，$(w_x,w_y,w_z)$是風速向量。擴散系數的變化可以用以下方程描述：(后略，見完整版本)

問題二求解結果可視化分析

運行代碼后，我們可以得到一系列非支配解，每個解代表一種的煙幕彈發射策略。下面我們來分析這些結果：

3D軌跡圖：這個圖展示了導彈的飛行軌跡、煙幕彈的軌跡、真目標和假目標的位置。我們可以觀察到煙幕彈是如何在空間中分布的，以及它們與真假目標的相對位置關系。理想情況下，我們希望看到煙幕主要集中在真目標周圍，而在假目標附近較少。

根據代碼求解得到的關鍵變量概要，我們可以對優化結果進行以下詳細分析和解釋：（略，見完整版本）

問題三模型的建立與求解

思路分析

問題三將我們的分析推進到了一個更復雜和動態的場景：保護一個由6輛任務車組成的移動車隊。這個問題不僅融合了前兩個問題中的挑戰，還引入了目標移動這一新的復雜因素，使得整個問題的難度和復雜度都大幅提升。在這個場景中，我們需要考慮車隊的運動、導彈的追蹤，以及如何在這種動態環境中有效地部署煙幕。這個問題的核心在于如何在車隊移動的過程中，通過合理布置煙幕來持續有效地干擾來襲導彈的探測，同時還要考慮到車隊內部各車輛的相對位置和重要性。我們需要設計一個能夠適應這種動態情況的煙幕部署策略，使得整個車隊在移動過程中都能得到有效的保護。

在進行思路分析時，我們首先需要建立一個更復雜的場景模型。這個模型需要包括車隊的運動軌跡、每輛車的相對位置、導彈的追蹤軌跡，以及煙幕的動態擴散過程。我們需要考慮車隊的平均速度（50km/h）以及導彈與車隊前行方向的夾角（π/6），這些因素會直接影響到煙幕的最佳釋放位置和時間。

在模型構建方面，我們需要擴展前兩個問題中的模型，加入車隊運動和導彈追蹤的動態特性。這需要我們引入一些運動學和動力學模型，以準確描述車隊和導彈的運動。同時，我們還需要改進煙幕擴散模型，使其能夠更好地適應移動目標的情況。在目標函數的設計上，我們需要考慮整個過程中對車隊的平均保護效果，還需要加入一些懲罰項，以避免過度使用煙幕或者影響車隊的視線。（后略，見完整版本）

以下是優化過程圖：

模型的評價與推廣

問題1-3的模型建立與求解過程中建立的模型的優缺點及其推廣如下：

問題1模型的評價與推廣

優點：

1. 該模型通過考慮導彈的飛行軌跡、煙幕的擴散過程以及風力影響等多個因素，構建了一個全面的多維動態煙幕優化模型，能夠較為準確地模擬實際作戰環境中的復雜情況。

2. 模型采用了混合元啟發式優化算法，結合了粒子群優化和模擬退火算法的優勢，能夠在復雜的解空間中有效搜索全局最優解，提高了求解的效率和結果的質量。

3. 該模型通過引入自適應參數調整機制，如動態調整交叉和變異概率，增強了算法的魯棒性和適應性，使其能夠更好地應對不同的問題實例。（后略，見完整版本）