二維隨機變量及其分布

離散型隨機變量

把所有的概率，都理解成不同質量的物體，這些物體就分布在二維平面上（左圖）。再把這些物體都看成是精簡的質點。

如果$f(x,y)$是其中的某個點的話，那么$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$就是該點左下角所有質點的質量疊加。

連續型隨機變量

它就不再是一個個質點了，而是一個個物體。$F(x,y)$叫聯合分布函數。其分布函數仍然是質量。概率密度就是面密度（例如kg/m^2).

如果你要給愛人送一個禮物，中間部分是黃金做的，邊緣部分是鐵做的。從金到鐵有一個漸變的過程，這就導致每個點的密度不太一樣。（此處，這個物體是個薄片、扁平的，不研究它的厚度）。這個密度就叫概率密度$f(x,y)$

$F(x,y)$還是表示點$(x,y)$左下角的質量。也就是對面密度做積分，得到的就是質量。

把質量對應概率，把密度對應成面密度。

邊緣分布

$F_X(x)=P(X\le x)$與$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$的關系，如下圖所示。

邊緣概率密度

覺得禮品不太好看，沿著y方向壓縮，一直壓縮到從數學上來說y的厚度已經沒有了（0），如下圖所示

此時，這根線的密度，就叫線密度（g/cm）。

壓縮過程如下。其代表的是x位于不同點的時候的密度。

所以，右側圖中線上每個點的質量（概率），其實就是左側圖片中對應的豎線的質量，豎直做積分。

同理$F_Y(y)$就是水平做積分。

舉例

下圖中，黃顏色代表大多數人都位于這個位置，集中在身高和體重的均值附近，概率密度比較大。

F(1.6, 100)，計算的是身高≤1.6m，體重≤100kg的概率。從質量的角度來說，算的是質量。

而邊緣概率，是身高小于1.6的人的概率，也可以理解為x<1.6的質量。

邊緣概率密度

把同身高、不同體重的人進行積分，就得到單獨身高的密度分布，

條件概率密度

它和邊緣概率密度有點像，但又不一樣。它研究的是單獨某一條線（水平或豎直）的密度問題。常用于求條件概率密度。

如下圖，讓Y=b，此時就叫條件概率密度。只研究一條線的概率密度，

以身高體重為例子，研究體重為101斤的人，它的身高的分布，

同樣，身高1m85的人，其體重的分布

邊緣概率密度與條件概率密度的區別

讓我用更簡單的方式來解釋這兩個概念。

邊緣概率密度

想象一下，你和朋友在玩一種抽獎游戲。這個抽獎游戲有兩個轉盤，一個轉盤上有各種顏色（紅色、綠色、藍色），另一個轉盤上有各種動物（狗、貓、鳥）。每次抽獎，你會同時轉動這兩個轉盤，然后得到一個顏色和一個動物的組合。

現在，我們只對顏色感興趣，不管動物是什么。這就像我們只看第一個轉盤，不看第二個轉盤。這時候，我們就得到了顏色的邊緣概率密度。就是說，我們只關心顏色的分布情況，比如有多少次是紅色的，有多少次是綠色的等等。

條件概率密度

繼續這個抽獎游戲的例子。如果這次我們知道抽到的動物是狗，我們想知道在這種情況下顏色的分布情況。比如，在抽到狗的時候，有多少次是紅色的，有多少次是綠色的等等。這就是條件概率密度。

條件概率密度告訴我們：在已知某個條件下（比如已經知道抽到的是狗），其他東西（比如顏色）的分布情況。

舉個具體例子

假設我們玩了很多次這個游戲，統計結果如下：

• 總共抽了100次。
• 抽到紅色的有30次，綠色的有50次，藍色的有20次（這就是顏色的邊緣概率）。
• 抽到狗的有40次，貓的有30次，鳥的有30次。
• 在抽到狗的40次里，紅色的有10次，綠色的有20次，藍色的有10次（這就是抽到狗時顏色的條件概率）。

所以，邊緣概率密度就像我們只看顏色的總體情況，而條件概率密度就像我們知道抽到狗后再來看顏色的分布情況。

參考資料

[1] 邊緣概率密度,條件概率密度,邊緣分布函數,聯合分布函數關系；