【高中數學/基本不等式】設a,b＞0.a+b=5,則根號下(a+1)+根號下(b+3) 的最大值為？（2015重慶卷）

【問題】

設a,b>0.a+b=5,則根號下(a+1)+根號下(b+3)的最大值為？

【解答】

解法一：

因雙根號計算不便，故采用平方后簡化之。

原式的平方=a+1+2倍根號下((a+1)(b+3))+b+3

=a+b+4+2倍根號下((a+1)(b+3))

因為a+b=5

a+1+b+3=1+3+5=9

9=(a+1)+(b+3)>=2倍根號下((a+1)(b+3))

所以? ?原式的平方<9+9=18

所以，原式的最大值為3倍根號2

解法二：

因為原式的平方=9+2倍根號下((a+1)(b+3))

而(a+1)(b+3)=ab+3a+b+3=ab+2a+8

而b=5-a

ab+2a+8=a(5-a)+2a+8=-(a-3.5)*(a-3.5)+3.5*3.5+8

當a=3.5時，(a+1)(b+3)取最大值3.5*3.5+8=81/4

所以?原式的平方<=9+2根號下(81/4)=18

所以，原式的最大值為3倍根號2

以上兩種方法能相互印證。

以下將從圖像上再驗證一次。

【函數圖像】

繪制函數圖像最重要的是得到函數的表達式，將b=5-a帶入原式可得 f(a)=根號下(a+1)+根號下(8-a),得到圖像如下：

從圖像上看，極值點(3.5,4.242)是與之前的解法能相互印證的。

【代碼】

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<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="1200px" height="600px" style="border:1px dashed black;">如果看到這段文字說您的瀏覽器尚不支持HTML5 Canvas，請更換瀏覽器再試.</canvas></div></body>
</html>
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<!--
/*****************************************************************
* 將全體代碼(從<!DOCTYPE到script>)拷貝下來，粘貼到文本編輯器中，
* 另存為.html文件，再用chrome瀏覽器打開，就能看到實現效果。
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// 畫布寬度
const WIDTH=1200;// 畫布高度
const HEIGHT=600;// 畫布環境
var context=0;   // 縮放比例
const ScaleUnit=50;// 舞臺對象
var stage;// 消逝的時間
var timeElapsed=0;// 圖像標題，title
const TITLE=" y=根號下(x+1)+根號下(8-x)";// 核心勾畫函數，由body_onload調用
function draw(){document.title="函數"+TITLE+" 圖示";// 畫圖前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 進行屏幕坐標系到笛卡爾坐標系的變換// 處置完成前，原點在左上角，向右為X正向，向下為Y的正向// 處置完畢后，原點移動到畫布中央，向右為X正向，向上為Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞臺stage=new Stage();// 開始動畫animate();
};//-------------------------------
// 畫圖
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 時間每輪增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<800){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞臺對象定義處
//-------------------------------
function Stage(){var obj=new Object;obj.prpty={"x":0,"y":0,"pts":[],"pts2":[],"max":-10,"min":10};// 隨時間更新位置obj.update=function(t){// xy值是如何變化的obj.prpty.x+=0.01;let x=obj.prpty.x;obj.prpty.y=Math.sqrt(x+1)+Math.sqrt(8-x);// 取極值if(obj.prpty.y<obj.prpty.min){obj.prpty.min=obj.prpty.y;}if(obj.prpty.y>obj.prpty.max){obj.prpty.max=obj.prpty.y;}// 放入數組let arr={"x":obj.prpty.x,"y":obj.prpty.y};if(arr.x<-3){this.prpty.pts.push(arr);}else{this.prpty.pts2.push(arr);}};// 畫前景obj.paint=function(ctx){  // 寫當前點坐標drawText(ctx,"當前 X:"+this.prpty.x.toFixed(3)+"  Y:"+this.prpty.y.toFixed(3),-400,125,"navy",18);// 寫極值drawText(ctx,"max:"+this.prpty.max.toFixed(3)+"  min:"+this.prpty.min.toFixed(3),-400,105,"navy",18);// 繪制曲線paintCurve(ctx,"maroon",this.prpty.pts);paintCurve(ctx,"orange",this.prpty.pts2);};// 畫背景obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="white";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 畫X軸drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 畫Y軸drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 畫網格線drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50,"grey");// 標題drawText(ctx,"函數 "+TITLE+" 圖示",-400,-160,"navy",18);// 作者，日期drawText(ctx,"逆火",-500,-200,"navy",16);drawText(ctx,(new Date()).toLocaleDateString(),-500,-220,"navy",16);};return obj;
}// 連點成線畫曲線
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.strokeStyle = color;ctx.beginPath(); for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);}}     ctx.stroke();ctx.closePath();
}// 定點畫實心圓
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.stroke();ctx.restore();
}// 兩點之間畫線段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 畫橫軸
function drawAxisX(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 畫軸ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 畫箭頭ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 畫刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,"navy",12);}ctx.restore();
}// 畫縱軸
function drawAxisY(ctx,start,end,step){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle='navy';ctx.fillStyle='navy';// 畫軸ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 畫箭頭ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 畫刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);drawText(ctx,y/ScaleUnit+"",x-15,y,"navy",12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}// 畫網格線
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=color;ctx.fillStyle=color;ctx.setLineDash([5,5]);// 設置虛線var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到顏色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["aqua"/* aqua湖綠色*/,"black"/* black黑色*/,"blue"/* blue藍色*/,"fuchsia"/* fuchsia 紫紅*/,"green"/* green 綠色*/,"grey"/* grey 草木灰*/,"lime"/* lime 亮綠色*/,"maroon"/* maroon 棕色*/,"navy"/* navy 海軍藍*/,"orange"/* orange 橙色*/,"purple"/* purple 紫色*/,"red"/* red 大紅*/,        "skyblue"/* skyblue 天藍*/,"teal"/* teal 藍綠色*/,"yellow"/* yellow 亮黃*/,"#aa0000"/* #aa0000 鐵銹紅*/,        ];if(index>arr.length){index=index % arr.length;}return arr[index];
}//-------------------------------------
// 繪制文字,指定顏色
// ctx:繪圖環境
// text:文字
// x,y:坐標
// color:顏色
// size:字體大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}
//-->
</script>

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