【1】引言
前序學習進程中，已經初步了解了伽馬函數，認識到nnn的階乘計算可以轉化為：
n!=n!?limk→+∞kn?k!(n+k)!=limk→+∞kn?k!?n!(n+k)!=limk→+∞kn?k!(n+1)(n+2)...(n+k)n!=n! \cdot lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}n!=n!?limk→+∞?(n+k)!kn?k!?=limk→+∞?(n+k)!kn?k!?n!?=limk→+∞?(n+1)(n+2)...(n+k)kn?k!?
如果把整數nnn替換成任意實數xxx，就會有：
x!=limk→+∞kx?k!(x+1)(x+2)...(x+k)x!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^x\cdot k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)}x!=limk→+∞?(x+1)(x+2)...(x+k)kx?k!?
此時，只要xxx不是負整數，因為負整數會導致分母為0，上述計算式就能執行，此時階乘形式的伽馬函數被擴展到除負整數以外的所有實數。
但大家熟悉的伽馬函數其實是一個指數積分形式，因此還需繼續探究。
【2】證明積分式和階乘式相等
證明∫01(?lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01?(?lnt)sdt=s!
【2.1】積分變換
首先令u=?lntu=-ln tu=?lnt，有：du=?1tdtdt=?tdut=e?udu=-\frac{1}{t}dt\\ dt=-tdu \\t=e^{-u}du=?t1?dtdt=?tdut=e?u
此時被積函數變換為：
(?lnt)s=us(-lnt)^s=u^s(?lnt)s=us
當t→0+t\rightarrow 0^+t→0+時，u=?lnt=+∞u=-lnt=+\inftyu=?lnt=+∞
當t→1t\rightarrow 1t→1時，u=?lnt=0u=-lnt=0u=?lnt=0
將上述變換代入積分式：
∫01(?lnt)sdt=∫+∞0us(?t)du=∫+∞0us(?eu)du=∫0+∞use?udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{+\infty}^{0}u^s(-t)du=\\ \int_{+\infty}^{0}u^s(-e^u)du=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du∫01?(?lnt)sdt=∫+∞0?us(?t)du=∫+∞0?us(?eu)du=∫0+∞?use?udu
【2.2】分部積分-s為正整數
當sss為正整數nnn時，積分先寫作：
∫01(?lnt)sdt=∫0+∞une?udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du∫01?(?lnt)sdt=∫0+∞?une?udu
令v=un,dw=e?uduv=u^n,dw=e^{-u}duv=un,dw=e?udu，有：
dv=nun?1du,w=?e?udv=nu^{n-1}du,w=-e^{-u}dv=nun?1du,w=?e?u
此時積分式轉化為：
∫01(?lnt)sdt=∫0+∞une?udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞?∫0+∞wdv=(un(?e?u))∣0+∞+∫0+∞nun?1e?udu=0+∫0+∞nun?1e?udu=n∫0+∞un?1e?udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=\\ \int_{0}^{+\infty}vdw=vw|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}wdv=\\ (u^n(-e^{-u}))|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=\\ 0+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫01?(?lnt)sdt=∫0+∞?une?udu=∫0+∞?vdw=vw∣0+∞??∫0+∞?wdv=(un(?e?u))∣0+∞?+∫0+∞?nun?1e?udu=0+∫0+∞?nun?1e?udu=n∫0+∞?un?1e?udu
這時候先暫停一下，根據前述推導有：
∫0+∞une?udu=n∫0+∞un?1e?udu\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫0+∞?une?udu=n∫0+∞?un?1e?udu按照這個形式，會有：
∫0+∞une?udu=n∫0+∞un?1e?udu=n(n?1)∫0+∞un?2e?udu=...=n(n?1)...2∫0+∞u1e?udu=n(n?1)...2?1∫0+∞u0e?udu=n!\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du=\\ n(n-1)\int_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-u}du=...=\\ n(n-1)...2\int_{0}^{+\infty}u^{1}e^{-u}du=\\ n(n-1)...2\cdot 1\int_{0}^{+\infty}u^{0}e^{-u}du=n!∫0+∞?une?udu=n∫0+∞?un?1e?udu=n(n?1)∫0+∞?un?2e?udu=...=n(n?1)...2∫0+∞?u1e?udu=n(n?1)...2?1∫0+∞?u0e?udu=n!至此可知，當sss為正整數nnn時，
∫01(?lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01?(?lnt)sdt=s!
【3】總結
當sss為正整數nnn時，
∫01(?lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01?(?lnt)sdt=s!，積分式和階乘式相等。
函數分析)
