一、ε約束法

定義

ε約束法通過將部分目標函數轉化為約束條件，保留一個主要目標進行優化。

1、選擇一個主要目標?fk?(x)?進行優化。

2、其他目標?fi?(x)?轉化為約束?fi?(x)≤εi?，其中?εi??是決策者設定的容許閾值。

??原理??

??目標選擇??：決策者選擇一個最重要的目標作為優化目標。

約束轉換??：其余目標被限制在某個可接受范圍內。

??參數調整??：通過調整?εi?，可以探索不同的Pareto最優解。

求解代碼

clear
clcprob = optimproblem('ObjectiveSense', 'min');
x = optimvar('x', 2, 'LowerBound', 0);%定義約束
prob.Constraints.con1 = 0.5*x(1) + 0.25*x(2) <= 8;
prob.Constraints.con2 = 0.2*x(1) + 0.2*x(2) <= 4;
prob.Constraints.con3 = x(1) + 5*x(2) <= 72;
prob.Constraints.con4 = x(1) + x(2) >= 10;%ε約束：污染 ≤ 33
prob.Constraints.epsilon_con = x(1) + 2*x(2) <= 33;%主目標：利潤最大化（轉換為最小化 -利潤）
prob.Objective = -2*x(1) - 3*x(2);[sol, fval] = solve(prob);
fprintf('最優解: x1 = %.2f, x2 = %.2f\n', sol.x(1), sol.x(2));
fprintf('利潤: %.2f, 污染: %.2f\n', -fval, sol.x(1) + 2*sol.x(2));

二、?理想點法

定義

理想點法通過計算各單目標的最優解（理想點），然后尋找最接近理想點的解。

1. 先分別優化每個單目標，得到理想值?fi??。

2. 構造評價函數，最小化目標值與理想值的加權距離（如歐氏距離）。

?

?

求解代碼?

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clcprob = optimproblem('ObjectiveSense', 'min');
x = optimvar('x', 2, 'LowerBound', 0);%定義約束
prob.Constraints.con1 = 0.5*x(1) + 0.25*x(2) <= 8;
prob.Constraints.con2 = 0.2*x(1) + 0.2*x(2) <= 4;
prob.Constraints.con3 = x(1) + 5*x(2) <= 72;
prob.Constraints.con4 = x(1) + x(2) >= 10;%計算理想點（單目標優化）
prob1 = prob;
%利潤最大化
prob1.Objective = -2*x(1) - 3*x(2); 
[sol1, fval1] = solve(prob1);
%利潤理想值
f1_ideal = -fval1; prob2 = prob;
%污染最小化
prob2.Objective = x(1) + 2*x(2); 
[sol2, fval2] = solve(prob2);
%污染理想值
f2_ideal = fval2; %構造理想點法的二次規劃
prob_ideal = prob;
prob_ideal.Objective = (-2*x(1) - 3*x(2) - (-53))^2 + (x(1) + 2*x(2) - 10)^2;[sol_ideal, fval_ideal] = solve(prob_ideal);
fprintf('最優解: x1 = %.2f, x2 = %.2f\n', sol_ideal.x(1), sol_ideal.x(2));
fprintf('利潤: %.2f, 污染: %.2f\n', 2*sol_ideal.x(1) + 3*sol_ideal.x(2), sol_ideal.x(1) + 2*sol_ideal.x(2));