【格與代數系統】示例

【格與代數系統】格與代數系統匯總

例1

設 $(L,\vee,\wedge)$ 是由 $(L,\leq )$ 誘導的代數系統，則其上的二元運算滿足（ABCD）

A. $a\wedge b=b\wedge a.$

B. $a\vee a=a$

C. $a\wedge(a\vee b)=a$

D. $(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c)$

代數系統滿足交換律、冪等律、吸收律、結合律

例2

$([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是（ABCD）

A.有界格

有界格：有最大、最小元

B.分配格

分配格：滿足分配律

C.對偶格

對偶格：復原律+對偶律

復原律： $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$

對偶律： $(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},\quad(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c}$

D.完全格

完備格：非空子集都有上下確界

$([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 不是有補格（有補格：每個元素都有補元）

對任意 $a \in \left ( 0,1 \right )$ ，假設存在 $b \in \left [ 0,1 \right ]$ ，使得b是a的補元

即有 $a\vee b=1,a\wedge b=0$ ，故b=1，b=0，矛盾，故不存在b是a的補元，故 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 不是有補格

一般，若一個線性序集中的元素多于兩個，那它一定不是有補格。

例3

代數系統 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是優軟代數（對）

優軟代數：對偶+稠密+完全+無限分配律

證：

已知 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是對偶格，由實數集的性質它是稠密的完全格，下正無限分配律：

一方面，對任意的 $i\in I,b_i\leqslant\vee_{j\in I}b_j$ ，故對任意的 $i\in I$ ， $a\wedge b_i\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)$ ，因此
$\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)$
另一方面：

(1) 若存在 $i_0\in I$ ,使得 $b_{i_0}>a$ , 則 $a\wedge b_{i_0}=a$ . 此時

$a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)\leqslant a=a\wedge b_{i_0}\leqslant \vee_{i\in I}(a\wedge b_i)$

(2) 若對任意 $i\in I$ ， $b_i\leqslant a$ ，則 $a\wedge b_i= b_i$ ,且 $\vee_{i\in I}b_i\leqslant a$ . 此時

$a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)=\vee_{i\in I}b_i=\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)$

因此，無限分配律第一個表達式成立，同理可得無限分配律第二個表達式，故無限分配律成立，故代數系統 $([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})$ 是優軟代數。

例4

代數系統 $(\left\{0,1\right\},V,\Lambda,\ ^{c})$ 是優軟代數（錯）

優軟代數：對偶+稠密+完全+無限分配律

不滿足稠密性

稠密性：任意兩元間仍有一元

本文來自互聯網用戶投稿，該文觀點僅代表作者本人，不代表本站立場。本站僅提供信息存儲空間服務，不擁有所有權，不承擔相關法律責任。
如若轉載，請注明出處：http://www.pswp.cn/pingmian/85975.shtml
繁體地址，請注明出處：http://hk.pswp.cn/pingmian/85975.shtml
英文地址，請注明出處：http://en.pswp.cn/pingmian/85975.shtml

如若內容造成侵權/違法違規/事實不符，請聯系多彩編程網進行投訴反饋email:809451989@qq.com，一經查實，立即刪除！