很好，我們現在來回答你問的這個問題：
🟠 冪級數在收斂半徑 R R R 以外會發生什么？
我們考慮一個一般形式的冪級數：
∑ n = 0 ∞ a n ( x ? x 0 ) n \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n n=0∑∞?an?(x?x0?)n
它的收斂半徑為 R R R，那么：
? 一、在 ∣ x ? x 0 ∣ < R |x - x_0| < R ∣x?x0?∣<R（收斂圓內部）
- 冪級數絕對收斂
- 連續、可導、可按項積分、可按項微分（性質很好）
?? 二、在 ∣ x ? x 0 ∣ = R |x - x_0| = R ∣x?x0?∣=R（收斂圓邊界）
-
冪級數可能：
- 收斂（絕對或條件）
- 也可能發散
-
需要逐個端點判別
? 三、在 ∣ x ? x 0 ∣ > R |x - x_0| > R ∣x?x0?∣>R（收斂圓外部）
一定發散 \textcolor{red}{\boxed{\text{一定發散}}} 一定發散?
? 原因：
這是冪級數的一個基本定理：
冪級數只在收斂圓內部收斂，在圓外一定發散。
具體解釋如下：
冪級數的收斂性由項 a n ( x ? x 0 ) n a_n (x - x_0)^n an?(x?x0?)n 控制，它的收斂性由以下公式決定：
R = 1 lim?sup ? n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n R = \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}} R=n→∞limsup?∣an?∣1/n1?
如果 ∣ x ? x 0 ∣ > R |x - x_0| > R ∣x?x0?∣>R，則：
∣ a n ( x ? x 0 ) n ∣ →? 0 \left| a_n (x - x_0)^n \right| \not\to 0 ∣an?(x?x0?)n∣→0
或者甚至發散得很快，意味著整個級數不能收斂。
📌 舉個例子說明
考慮冪級數：
∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ? \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots n=0∑∞?xn=1+x+x2+x3+?
- 這是一個等比級數 a = 1 , q = x a = 1, q = x a=1,q=x
- 它的收斂半徑 R = 1 R = 1 R=1
- 當 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1，收斂，和為 1 1 ? x \frac{1}{1 - x} 1?x1?
- 當 ∣ x ∣ = 1 |x| = 1 ∣x∣=1，需要分別判斷（比如 x = 1 x = 1 x=1 發散， x = ? 1 x = -1 x=?1 條件收斂）
- 當 ∣ x ∣ > 1 |x| > 1 ∣x∣>1，項 x n x^n xn 越來越大 → 一定發散！
