4.1 k-means算法簡介

聚類分析，作為機器學習領域中的一種無監督學習方法，在數據探索與知識發現過程中扮演著舉足輕重的角色。它能夠在沒有先驗知識或標簽信息的情況下，通過挖掘數據中的內在結構和規律，將數據對象自動劃分為多個類別或簇。每個簇內的對象具有高度的相似性，而不同簇間的對象則表現出明顯的差異性。

在眾多聚類算法中，K-means算法因其簡單高效而備受青睞。K-means算法的基本思想是：通過迭代的方式，將數據劃分為K個不同的簇，并使得每個數據點與其所屬簇的質心（或稱為中心點、均值點）之間的距離之和最小。

K-means算法的優點在于其直觀易懂、計算速度快且易于實現。然而，它也存在一些局限性，如對初始簇質心的選擇敏感、可能陷入局部最優解以及需要預先設定聚類數K等。因此，在實際應用中，我們需要根據具體的問題和數據特點來選擇合適的聚類算法，并可能需要對算法進行優化或改進以適應特定的需求。

4.2 算法的基本原理

（1）類和分類

類指的是具有相似性的集合。而分類是根據給定的已知類別的樣本，訓練出來一個模型，使該模型能夠對未知類別的樣本進行分類。故分類屬于有監督學習。有監督學習是指提前由人工對訓練數據做好了分類，訓練樣本同時包含有特征和類別信息。有監督學習類似于先學習帶有標準答案的復習題，學習到知識規律以后，再去參加考試。

（2）聚類

對于一些給定的樣本，不知道樣本之間的關系，不知道他們是否屬于同一類，也不知道到底可以分為多少類。此時，通過聚類把未知類別的數據，分為多個類別。聚類目的在于把相似的東西聚在一起，因此聚類屬于無監督學習。

（3）K-均值聚類思想

K-均值（K-Means）是發現給定數據集的K個簇的算法。簇個數K是用戶給定的，每一個簇通過其質心（即簇中所有點的中心）來描述。其核心思想是將數據集中的n個對象劃分為K個聚類，使得每個對象到其所屬聚類的中心（或稱為均值點、質心）的距離之和最小。這里所說的距離通常指的是歐氏距離，但也可以是其他類型的距離度量。通過迭代的方式不斷優化聚類結果，使得每個聚類內的對象盡可能緊密，而不同聚類間的對象則盡可能分開。

（4）算法步驟

K-means算法作為一種強大的無監督學習工具，具有簡單易懂、計算效率高和易于實現等優點在多個領域有著廣泛的應用，下面我們將詳細探討K-means算法的實現步驟。K-means算法的執行過程通常包括以下四個步驟。

a.初始化，選擇K個初始聚類中心。在算法開始時，需要隨機選擇K個數據點作為初始的聚類中心。這些初始聚類中心的選擇對最終的聚類結果有一定的影響，因此在實際應用中，通常會采用一些啟發式的方法來選擇較好的初始聚類中心，如K-means++算法。

b.分配，將每個數據點分配給最近的聚類中心。對于數據集中的每個數據點，計算其與每個聚類中心的距離，并將其分配給距離最近的聚類中心。這一步通常使用歐氏距離作為距離度量，計算公式如下（1）。其中，x是數據點，ci是第i個聚類中心，d是數據的維度，xj和cij分別是x和ci在第j維上的值。

c.更新，重新計算每個聚類的中心。對于每個聚類，重新計算其聚類中心，新的聚類中心是該聚類內所有數據點的均值，計算公式如下（2）。其中，Si是第i個聚類的數據點集合，|Si|是該集合中數據點的數量。

d.迭代，重復分配和更新步驟，直到滿足終止條件。重復執行分配和更新步驟，直到滿足某種終止條件。常見的終止條件包括，聚類中心不再發生顯著變化：即新的聚類中心與舊的聚類中心之間的距離小于某個預設的閾值。達到最大迭代次數：為了避免算法陷入無限循環，通常會設置一個最大迭代次數作為終止條件。在迭代過程中，算法會不斷優化聚類結果，使得每個聚類內的對象更加緊密，而不同聚類間的對象更加分散。最終，當滿足終止條件時，算法停止迭代并輸出最終的聚類結果。

4.3 算法實例

K-means算法作為一種強大的無監督學習工具，在多個領域有著廣泛的應用。本實驗以對俄勒岡州的波特蘭地區地圖上的點進行聚類為例，基于k-means算法實現，將這些地方進行聚類的最佳策略，這樣就可以安排交通工具抵達這些簇的質心，然后步行到每個內地址。實例操作可分為以下五個過程。

1. 收集數據

通過調用geoGrab函數來實現收集數據，geoGrab函數的作用是收集數據，通過調用雅虎地理編碼 API（Yahoo Geocoding API），將輸入的街道地址和城市名稱轉換為對應的地理坐標（經緯度等位置信息），返回 API 響應的 JSON 格式數據，包含地址對應的地理編碼信息（如坐標、地址匹配度等）。

相關代碼如下：

def geoGrab(stAddress, city):

????apiStem = 'http://where.yahooapis.com/geocode?' ?#create a dict and constants for the goecoder

????params = {}

????params['flags'] = 'J'#JSON return type

????params['appid'] = 'aaa0VN6k'

????params['location'] = '%s %s' % (stAddress, city)

????url_params = urllib.parse.urlencode(params)

????yahooApi = apiStem + url_params ?????#print url_params

????print (yahooApi)

????c=urllib.parse.urlopen(yahooApi)

????return json.loads(c.read())

1. 準備數據

準備數據中，只保留經緯度信息。我們可以通過調用massPlaceFind函數。該函數其作用是批量處理地址數據，通過調用geoGrab函數獲取地理坐標（經緯度），并將結果寫入文件。該函數適用于批量處理地址數據，生成帶地理坐標的數據集，常用于地理信息系統（GIS）、數據分析或地圖可視化等場景。

相關代碼如下：

def massPlaceFind(fileName):

????fw = open('places.txt', 'w')

????for line in open(fileName).readlines():

????????line = line.strip()

????????lineArr = line.split('\t')

????????retDict = geoGrab(lineArr[1], lineArr[2])

????????if retDict['ResultSet']['Error'] == 0:

????????????lat = float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['latitude'])

????????????lng = float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['longitude'])

????????????print("%s\t%f\t%f" % (lineArr[0], lat, lng))

????????????fw.write('%s\t%f\t%f\n' % (line, lat, lng))

????????else: print ("error fetching")

????????sleep(1)

????fw.close()

1. 分析數據

使用Matplotlib來構建一個二維數據圖，其中包含簇與地圖。我們通過調用clusterClubs函數來實現。clusterClubs函數，其核心功能是對地點的經緯度數據進行聚類分析，并在地圖背景上可視化聚類結果。該函數適用于地理數據的聚類分析與可視化，常用于城市規劃、商業選址、軌跡分析等場景，幫助快速識別數據中的空間分布模式。

圖1 調用函數

圖2 二維數據圖

相關代碼如下：

def clusterClubs(numClust=5):

????datList = []

????for line in open('places.txt').readlines():

????????lineArr = line.split('\t')

????????datList.append([float(lineArr[4]), float(lineArr[3])])

????datMat = matrix(datList)

????myCentroids, clustAssing = biKmeans(datMat, numClust, distMeas=distSLC)

????fig = plt.figure()

????rect=[0.1,0.1,0.8,0.8]

????scatterMarkers=['s', 'o', '^', '8', 'p', \'d', 'v', 'h', '>', '<']

????axprops = dict(xticks=[], yticks=[])

????ax0=fig.add_axes(rect, label='ax0', **axprops)

????imgP = plt.imread('Portland.png')

????ax0.imshow(imgP)

????ax1=fig.add_axes(rect, label='ax1', frameon=False)

????for i in range(numClust):

????????ptsInCurrCluster = datMat[nonzero(clustAssing[:,0].A==i)[0],:]

????????markerStyle = scatterMarkers[i % len(scatterMarkers)]

????????ax1.scatter(ptsInCurrCluster[:,0].flatten().A[0], ptsInCurrCluster[:,1].flatten().A[0], marker=markerStyle, s=90)

????ax1.scatter(myCentroids[:,0].flatten().A[0], myCentroids[:,1].flatten().A[0], marker='+', s=300)

????plt.show()

1. 測試算法

通過調用biKmeans()函數來測試算法。該函數實現了二分K均值算法（Bisecting K-Means），用于對數據集進行聚類分析。其核心作用是通過 “逐步分裂簇” 的策略，將數據集劃分為指定數量的簇（k個）。

圖3 測試算法

相關代碼如下：

def biKmeans(dataSet, k, distMeas=distEclud):

????m = shape(dataSet)[0]

????clusterAssment = matrix(zeros((m,2)))

????centroid0 = mean(dataSet, axis=0).tolist()[0]

????centList =[centroid0] #create a list with one centroid

????for j in range(m):#calc initial Error

????????clusterAssment[j,1] = distMeas(matrix(centroid0), dataSet[j,:])**2

????while (len(centList) < k):

????????lowestSSE = inf

????????for i in range(len(centList)):

????????????ptsInCurrCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]#get the data points currently in cluster i

????????????centroidMat, splitClustAss = kMeans(ptsInCurrCluster, 2, distMeas)

????????????sseSplit = sum(splitClustAss[:,1])#compare the SSE to the currrent minimum

????????????sseNotSplit = sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])

????????????print("sseSplit, and notSplit: ",sseSplit,sseNotSplit)

????????????if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE:

????????????????bestCentToSplit = i

????????????????bestNewCents = centroidMat

????????????????bestClustAss = splitClustAss.copy()

????????????????lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit

????????bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 1)[0],0] = len(centList) #change 1 to 3,4, or whatever

????????bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A == 0)[0],0] = bestCentToSplit

????????print ('the bestCentToSplit is: ',bestCentToSplit)

????????print ('the len of bestClustAss is: ', len(bestClustAss))

????????centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0,:].tolist()[0]#replace a centroid with two best centroids

????????centList.append(bestNewCents[1,:].tolist()[0])

????????clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A == bestCentToSplit)[0],:]= bestClustAss#reassign new clusters, and SSE

????return matrix(centList), clusterAssment

1. 使用算法

我們通過使用clusterClubs函數來輸出包含簇及簇中心的地圖。clusterClubs函數，其核心功能是對地點的經緯度數據進行聚類分析，并在地圖背景上可視化聚類結果。操作過程與（3）分析數據相同。

圖4 簇及簇中心圖

相關代碼如下：

def clusterClubs(numClust=5):

????datList = []

????for line in open('places.txt').readlines():

????????lineArr = line.split('\t')

????????datList.append([float(lineArr[4]), float(lineArr[3])])

????datMat = matrix(datList)

????myCentroids, clustAssing = biKmeans(datMat, numClust, distMeas=distSLC)

????fig = plt.figure()

????rect=[0.1,0.1,0.8,0.8]

????scatterMarkers=['s', 'o', '^', '8', 'p', \

????????????????????'d', 'v', 'h', '>', '<']

????axprops = dict(xticks=[], yticks=[])

????ax0=fig.add_axes(rect, label='ax0', **axprops)

????imgP = plt.imread('Portland.png')

????ax0.imshow(imgP)

????ax1=fig.add_axes(rect, label='ax1', frameon=False)

????for i in range(numClust):

????????ptsInCurrCluster = datMat[nonzero(clustAssing[:,0].A==i)[0],:]

????????markerStyle = scatterMarkers[i % len(scatterMarkers)]

????????ax1.scatter(ptsInCurrCluster[:,0].flatten().A[0], ptsInCurrCluster[:,1].flatten().A[0], marker=markerStyle, s=90)

????ax1.scatter(myCentroids[:,0].flatten().A[0], myCentroids[:,1].flatten().A[0], marker='+', s=300)

????plt.show()