霍夫曼編碼的文檔壓縮比計算基于字符頻率的最優編碼分配，以下是詳細步驟及相關案例：

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一、壓縮比計算公式

[
\text{壓縮比} = \frac{\text{壓縮前總比特數}}{\text{壓縮后總比特數 + 編碼表存儲開銷}}
]
通常以 比率（如 3:1） 或 百分比（如 33%） 表示。
注：實際應用中需包含編碼表的存儲開銷，但理論計算常忽略此部分以簡化。

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二、計算步驟與案例演示

案例背景

假設一篇英文文檔包含字符 A, B, C, D，出現頻率如下：

字符	出現次數	頻率（%）
A	5	12.8%
B	9	23.1%
C	12	30.8%
D	13	33.3%
總字符數：39。

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步驟1：構建霍夫曼樹

1. 按頻率升序排列：A(5), B(9), C(12), D(13)。
2. 合并最小節點：
   • 合并 A(5) 和 B(9) → 新節點 14。
   • 合并 14 和 C(12) → 新節點 26。
   • 合并 26 和 D(13) → 根節點 39。
     霍夫曼樹結構：

				        39/    \26      13 (D)/  \14   12 (C)/  \5 (A) 9 (B)

步驟2：生成編碼表

• 左分支為0，右分支為1：

  字符	編碼	編碼長度
  A	000	3位
  B	001	3位
  C	01	2位
  D	1	1位

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步驟3：計算壓縮前后比特數

1. 壓縮前（假設固定8位/字符）：
   [
   39 \times 8 = 312 \text{ 位}
   ]

2. 壓縮后（僅數據部分）：
   [
   (5 \times 3) + (9 \times 3) + (12 \times 2) + (13 \times 1) = 15 + 27 + 24 + 13 = 79 \text{ 位}
   ]

3. 編碼表存儲開銷（假設額外存儲字符與編碼）：

   • 每個字符需存儲 字符（8位） + 編碼長度（4位） + 編碼內容（變長）。
   • 總開銷：4字符 × (8+4+3)位 ≈ 60位（近似值）。

4. 總壓縮后比特數：
   [
   79 \text{（數據）} + 60 \text{（編碼表）} = 139 \text{ 位}
   ]

5. 壓縮比：
   [
   \text{壓縮比} = \frac{312}{139} \approx 2.24:1 \quad \text{或} \quad 44.6%
   ]

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三、簡化案例（忽略編碼表開銷）

若忽略編碼表存儲，僅計算數據部分：
[
\text{壓縮比} = \frac{312}{79} \approx 3.95:1 \quad \text{或} \quad 25.3%
]

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四、關鍵影響因素

1. 字符頻率分布：
   • 高頻字符越多，壓縮比越高（如案例中 D 僅需1位）。
2. 編碼表存儲方式：
   • 動態編碼（如自適應霍夫曼編碼）可減少存儲開銷。
3. 文檔規模：
   • 文檔越大，編碼表開銷占比越小，壓縮比越接近理論值。

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五、實際應用注意事項

• 二進制存儲優化：編碼表需按二進制緊湊存儲（如位掩碼）。
• 動態編碼：適用于流式數據（如網絡傳輸），無需預存編碼表。
• 與其他算法結合：如先使用LZ77壓縮重復字符串，再用霍夫曼編碼進一步壓縮。

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六、總結

霍夫曼編碼通過為高頻字符分配短碼，顯著降低文檔存儲空間。實際壓縮比需綜合考慮字符分布和編碼表開銷，理論最大壓縮比由字符熵決定。