一.二氧化硅和硅光纖的單模光波特性

利用麥克斯方程的精確解研究二氧化硅和硅亞波長直徑導線的單模光波特性。研究了單模條件、模場。

二氧化硅光纖導線是圓形截面，包層是空氣包層，階梯型變化的折射率，導線線徑D非常小長度足夠長，因此介電常數(ε)和磁導率(μ)可以用來描述介電介質對入射電磁場的響應。

1.基于該條件，將麥克斯韋方程簡化為亥姆霍斯方程

波矢：k=2π/λ，β是傳播常數。

光在導線內的傳播模式分析

光在導線中傳播，存在導模和基模HEvm、EHvm、TE0m、TH0m四種模式，模式特征方程：

主要研究的TE0m模式和TH0m模式：

其中Jv為第一類貝塞爾函數，Kv為第二類修正貝塞爾函數，

2.求二氧化硅和硅的折射率：

空氣折射率n2等于1.0，利用sellmeier型色散公式求解：

對于二氧化硅：

對于硅：

（1）線徑D和V參數，以及波長下傳播常數(β)之間的關系，最后是所在波長下單模工作的的臨界直徑DSM。

基本模型建立

數值求解beta（β）-D

流程圖：

hold on
%-------------------------TM01------------------------
clear
format long
%光纖參數
lambda = 1.5;%波長，單位微米
% lambda = 0.633;%波長，單位微米
n2 = 1;%空氣包層折射率
N1 = 11.6858+(0.939816./(lambda.^2))+0.000993358./((lambda.^2)-1.22567);
% N1 = ((0.6961663*(lambda^2))/((lambda^2)-(0.0684043)^2))+((0.4079426*(lambda^2))./((lambda^2)-(0.1162414)^2))+((0.8974794*(lambda^2))./((lambda^2)-9.86161^2))+1;
n1 = sqrt(N1);%光纖纖芯折射率;
k = (2*pi)/(lambda*1e-6);
% delta1 = (n1^2-n2^2)/(2*(n1^2));%相對折射率
% delta2 = (n1^2+n2^2)/(2*(n1^2));
D = 0:0.001:0.8;%纖芯線徑，單位微米
% D = 0:0.001:1;%纖芯線徑，單位微米
Dprint = zeros();
V = zeros();%歸一化折射率數組初始化
betaTM = zeros(0);%傳播常數數組初始化
TMi = 1;
z = 1;
n = n2;
% Vcut = 0;
TM01 = zeros();
for Dvalue = 1:length(D)DLigth = D(Dvalue)*(1e-6);Dr = (1/2)*DLigth%V2(Dvalue) = (pi/lambda)*(D(Dvalue)^2)*2*delta1V(Dvalue) =k*Dr*sqrt((n1^2)-(n2^2));% for Value = Vcut:0.01:V(Dvalue)for BeiTa = n+0.00001:0.00001:n1U2 = (Dr^2 * k^2) * n1^2 - Dr^2 * k^2 * BeiTa^2;U = sqrt(U2);W2 = Dr^2 * k^2 * BeiTa^2 - (Dr^2 * k^2) * n2^2;W = sqrt(W2);Dprint(Dvalue) = sqrt(U2+W2);if(U == 0 || W == 0)z = z+1;break;elseJU = besselj(1,U)/(U*besselj(0,U));KW = besselk(1,W)/(W*besselk(0,W));if(abs(JU+KW)<0.1)TM01(TMi) = D(Dvalue)*1000;betaTM(TMi) = BeiTa;TMi = TMi+1;% Vcut = V(Dvalue);n = BeiTa;break;endendend
end
figure
plot(TM01,betaTM,'b')

?

（a）（b）

?

（c）（d）

圖1（a）（b）是SiO2在入射波長633nm（c）（d）是Si在波長1500nm下傳播常數β與線徑D和歸一化頻率V之間的關系

得出線徑D和V參數，以及波長下傳播常數(β)之間的關系，最后是所在波長下單模工作的的臨界直徑DSM。

二.單模和基模的分析

單模分析：

空氣包覆線波導的單模條件：

因此空氣包層二氧化硅和硅導波的單模條件

% hold on
%HE11
clear
format long
%光纖參數
% lambda1 = 6.63;
lambda = 0.2:0.001:3;%波長，單位um
n2 = 1;%空氣包層折射率
Sin1 = zeros();
SiN1 = zeros();
SiO2n1 = zeros();
SiO2N1 = zeros();
kSi = zeros();
DSi = zeros();
LSi = zeros();
DSiO2 = zeros();
LSiO2 = zeros();
Si_lambda = zeros();
SiO2_lambda = zeros();
Si = 1;
SiO2 = 1;
for LValue = 1:length(lambda)SiN1(LValue) = 11.6858+(0.939816/(lambda(LValue)^2))+0.000993358/((lambda(LValue)^2)-1.22567);Sin1(LValue) = sqrt(SiN1(LValue));%Si光纖纖芯折射率;SiO2N1(LValue) = ((0.6961663*(lambda(LValue)^2))/((lambda(LValue)^2)-(0.0684043)^2))+((0.4079426*(lambda(LValue)^2))/((lambda(LValue)^2)-(0.1162414)^2))+((0.8974794*(lambda(LValue)^2))/((lambda(LValue)^2)-9.86161^2))+1;SiO2n1(LValue) = sqrt(SiO2N1(LValue));%SiO2光纖纖芯折射率;kSi(LValue) = (2*pi)/(lambda(LValue)*1e-6);% D(LValue) = 2.405*lambda(LValue)/(pi*sqrt(n1(LValue)^2 - n2^2));% Si_lambda = lambda(LValue)/n1(LValue);if(lambda(LValue)>=1.2)LSi(Si) = lambda(LValue)*1000;Si_lambda(Si) = lambda(LValue)/Sin1(LValue)*1000;DSi(Si) = 2.405*lambda(LValue)/(pi*sqrt(Sin1(LValue)^2 - n2^2))*1000;Si = Si + 1;endif(lambda(LValue)>= 0.2 && lambda(LValue)<=3)LSiO2(SiO2) = lambda(LValue)*1000;SiO2_lambda(SiO2) = lambda(LValue)/SiO2n1(LValue)*1000;DSiO2(SiO2) = 2.405*lambda(LValue)/(pi*sqrt(SiO2n1(LValue)^2 - n2^2))*1000;SiO2 = SiO2 + 1;endend
figure(2)
plot(LSi,DSi,'r',LSi,Si_lambda,'--m',LSiO2,DSiO2,'b',LSiO2,SiO2_lambda,'--g')
datacursormode(figure(2), 'on');
axis equal
axis([0 3000 0 2000])
xlabel('Wavelength in Air (nm)')
ylabel({'Wire Diameter (nm)';'Wavelength in Media (nm)'})
title('空氣包覆二氧化硅和硅線的單模態')
legend('Silicon_D','Silicon_W','Silica_D','Silica_W')

圖2單模條件

從圖中可以得出以下的分析：

亞波長直徑的二氧化硅線波導始終是單模，而亞波長直徑的硅線波導需要在直徑低于圖中

實線時才是單模。

二氧化硅和硅的邊緣波長分別是200nm和1200nm，響應的最小臨界直徑（DSM）為

129nm和272nm。

參考文獻

亞波長直徑二氧化硅和硅的單模波導特性

(廖延彪. 光纖光學——原理與應用 [M]. 北京: 清華大學出版社, 2010.)

具體代碼

https://download.csdn.net/download/m0_62501117/90752169