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介紹

貝塞爾曲線是計算機圖形學中最重要的概念之一，以其在表示曲線時的靈活性和精確性而聞名。廣泛應用于計算機圖形學、動畫、路徑規劃等領域的數學曲線。

貝塞爾曲線的數學原理基礎是1912年成立的伯恩斯坦多項式。

簡單來說,貝塞爾曲線是通過可變數量的點定義的。當控制點只有兩個時,繪制出來的是一條直線,也稱為線性貝塞爾曲線。

具有三個控制點的貝塞爾曲線是 二次貝塞爾曲線,四個點控制的則是三次貝塞爾曲線,以此類推。

其中,二次和三次貝塞爾曲線比較常用,也是比較受歡迎的兩種。因為他們在計算簡單性和能夠表示無限范圍的曲線之間取得了平衡。

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曲線方程

貝塞爾曲線方程可以表示為:

其中,$B(t)$ 是貝塞爾曲線在參數 t 上的點。

$n$是貝塞爾曲線的次數

$P_i$是控制點。

更具體的,對于一階貝塞爾曲線,公式如下:

$B(t)=(1?t)P_0+t{P}_1\text{，其中 }t\in [0,1]$

其中的$P_0$,$P_1$是兩個控制點,曲線從$P_0$出發,經過$P_1$,且為一條直線。

二次貝塞爾曲線有三個控制點，通常用于平滑的路徑繪制。該曲線依賴于一個控制點來彎曲直線,這種操作相比很多人都不陌生,我們在很多繪圖軟件中需要用到曲線或者帶箭頭的曲線時,都會通過鼠標拖動頭尾之外的中間點來實現想要的彎曲效果。

$B(t)=(1?t{)}^2{P}_0+2(1?t)t{P}_1+t^2{P}_2\text{，其中 }t\in [0,$