本文重點

矩陣的相似變換是線性代數中一個至關重要的概念，它揭示了矩陣之間的一種特殊關系，并通過可逆矩陣將一個矩陣轉化為另一個相似矩陣，同時保持矩陣的某些本質特征不變。在機器學習領域，矩陣的相似變換發揮著不可或缺的作用，廣泛應用于數據降維、聚類分析、分類推薦、矩陣分解重構及神經網絡中的特征提取與信息傳遞等多個方面。

相似變換的定義

如果有兩個矩陣A,B，以及一個可逆矩陣P，它們滿足下面的關系：

那么可以稱矩陣A，B相似，記為A~B。P被稱為相似變換矩陣。其中，P的列向量是A的線性無關的特征向量，Λ的主對角線元素是A的特征值。

相似的性質

相似具有自反性。矩陣會與自身相似A~A

相似具有對稱性。A~B,則B~A

相似具有傳遞性。A~B且B~C，那么A~C

相似矩陣的特征向量可能不同，但它們的特征值一定是相同，A~B，那么矩陣A和矩陣B具有特征值是一樣的，這個性質可以將找到某個矩陣的相似矩陣（對角矩陣或者三角矩陣），對角矩陣或者三角矩陣的主對角線元素即為A的特征值。

跡不變性?