?給定數據矩陣X，如何求其質心、中心化數據、標準化數據、格拉姆矩陣、協方差矩陣、相關系數矩陣。
??設數據矩陣$X$是一個$n\times p$的矩陣，其中$n$是樣本數量，$p$是變量數量，$X=(x_{ij})$，$i=1,2,?,n$，$j=1,2,?,p$。

1. 質心$\bar{X}$

??質心是數據矩陣$X$每一列的均值所構成的向量。對于第$j$列，其均值${\bar{x}}_j=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}$，$j=1,2,?,p$。所以質心向量$\bar{X}=({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,?,{\bar{x}}_p)$。

2. 中心化數據$X_c$

??中心化是將數據矩陣X的每一個樣本點減去其質心。中心化后的數據矩陣$X_c$的元素$x_{ij}^c=x_{ij}?{\bar{x}}_j$，$i=1,2,?,n$，$j=1,2,?,p$。

3. 標準化數據$X_s$

• 首先計算每一列的標準差$s_j=\sqrt{\frac{1}{n?1}{\sum }_{i=1}^n(x_{ij}?{\bar{x}}_j{)}^2}$，$j=1,2,?,p$。
• 標準化后的數據矩陣$X_s$的元素$x_{ij}^s=\frac{x_{ij}?{\bar{x}}_j}{s_j}$，$i=1,2,?,n$，$j=1,2,?,p$。
  （減均值、除方差）

4.格拉姆矩陣$G$

??格拉姆矩陣$G$的元素$g_{ij}=X^{T}X$，即$g_{ij}={\sum }_{k=1}^n{x}_{ki}{x}_{kj}$，$i=1,2,?,p$，$j=1,2,?,p$。
（每一個元素，都是$X$中兩個向量的內積）

5.協方差矩陣 $C$

• 協方差矩陣C可以通過中心化后的數據矩陣$X_c$來計算，$C=\frac{1}{n?1}{X}_c^T{X}_c$。
• 其元素$c_{ij}=\frac{1}{n?1}{\sum }_{k=1}^n(x_{ki}?{\bar{x}}_i)(x_{kj}?{\bar{x}}_j)$，$i=1,2,?,p$，$j=1,2,?,p$。

6.相關系數矩陣$R$

• 可以由標準化后的數據矩陣$X_s$來計算相關系數矩陣R，$R=\frac{1}{n?1}{X}_s^T{X}_s$。

• 也可以根據協方差矩陣C計算，$r_{ij}=\frac{c_{ij}}{\sqrt{c_{ii}{c}_{jj}}}$，$i=1,2,?,p$，$j=1,2,?,p$，其中$r_{ij}$是相關系數矩陣R的元素

python實現

import numpy as npdef calculate_statistics(X):# 質心centroid=np.mean(X,axis=0)# 中心化數據X_cX_centered=X-centroid# 標準化數據X_sstd_dev=np.std(X,axis=0,ddof=1)# 格拉姆矩陣Ggram_matrix=np.dot(X.T,X)# 協方差矩陣Ccov_matrix=np.cov(X,rowvar=False)# 相關系數矩陣Rcorr_matrix=np.corrcoef(X,rowvar=False)return centroid, X_centered, std_dev, gram_matrix, cov_matrix, corr_matrix# Test the function
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
centroid, X_centered, std_dev, gram_matrix, cov_matrix, corr_matrix = calculate_statistics(X)print("Centroid:", centroid)
print("Centered data:", X_centered)
print("Standard deviation:", std_dev)
print("Gram matrix:", gram_matrix)
print("Covariance matrix:", cov_matrix)
print("Correlation matrix:", corr_matrix)

Centroid: [4. 5. 6.]
Centered data: [[-3. -3. -3.][ 0.  0.  0.][ 3.  3.  3.]]
Standard deviation: [3. 3. 3.]
Gram matrix: [[ 66  78  90][ 78  93 108][ 90 108 126]]
Covariance matrix: [[9. 9. 9.][9. 9. 9.][9. 9. 9.]]
Correlation matrix: [[1. 1. 1.][1. 1. 1.][1. 1. 1.]]