MATLAB矩陣及其運算（三）矩陣的創建

3.1 元素輸入法

元素輸入法是最簡單，也是最常用的一種矩陣的生成方法。例如：

注意：

整個矩陣必須用“[]”括起來；
元素之間必須用逗號“，”或空格分開；
矩陣的行與行之間必須用“；”或者回車鍵“Enter”隔開；
元素按照先列后行的方式進行存儲。

3.2 設定步長生成法

設定步長生成法用于生成一維行數組。

格式：x=a：inc：b

其中a是數組的第一個元素；inc是相鄰兩個元素之間的間隔；b是數組的最后一個元素。

例如：x=1：3：25

說明：

（1）若b-a是inc的整數倍，則最后一個元素是b；否則小于b。

（2）若inc=1，可簡寫為x=a：b。

（3）inc可以取整數，也可以取復數。

遇到的警告 "Colon operands must be real scalars" 是因為在 MATLAB 中使用冒號運算符?:?時，中間的步長值使用了復數?3i。

冒號運算符的正確語法是?start:step:end，其中?start、step?和?end?都必須是實數標量，而不能是復數。

在例子中，雖然寫了?1:3i+6:25，但 MATLAB 實際上忽略了復數部分的虛部，只使用了實部進行計算：

起始值：1
步長值：6（因為?3i?的實部是 0，0+6=6）
結束值：25

所以最終結果?A = [1 7 13 19 25]?實際上是按照?1:6:25?計算得到的，這就是為什么雖然有警告但仍然得到了結果。

如果你確實需要生成包含復數的數組，可以使用其他方法，例如：

3.3 均勻采樣生成法

均勻采樣生成法用于生成一維行數組。

格式：x=linspace（a，b，n）

其中，a，b分別為生成數組的第一個和最后一個元素；n為采樣總點數。

例如：x=linspace（1，25，3）

從定義可以看出，該指令的作用與x=a：（b-a）/（n-1）：b相同。

3.4 幾種特殊矩陣的創建

特殊矩陣的創建命令如下表：

命令	說明
[]	空矩陣
zeros	全零矩陣
ones	全一矩陣
eye	單位矩陣
magic	魔方矩陣
rand	均勻隨機矩陣
randn	高斯隨機矩陣
diag	對角矩陣

（1）空矩陣

A=[] ?%用于刪除某個元素或者矩陣。

例：把矩陣A的第一個元素刪除。

如下：

（2）全零矩陣

A=zeros（2，3） ?%生成元素全為零的2×3階矩陣。

（3）全一矩陣

A=ones（2，3） ??%生成元素全為1的2×3階矩陣。

（4）單位矩陣

A=eye（3，4） %使用eye（m，n）可得到一個允許的最大單位矩陣，其他位置補零。

（5）魔方矩陣

X=magic（3） ?%用于產生一個3×3階的魔方矩陣。

魔方矩陣（Magic Square）是一種特殊的n 階方陣，其核心特征是每行、每列以及兩條主對角線的元素之和都相等，這個相等的和被稱為 “魔數”（Magic Constant）。

魔方矩陣在數學、數論、組合數學以及趣味數學中都有重要地位，且具有深厚的歷史背景，古代文明（如中國、印度、阿拉伯等）都曾研究過這類矩陣。

魔方矩陣的核心性質

階數定義：通常以 “n 階” 表示，指矩陣的行數和列數均為 n（n≥1，且多為正整數）。
魔數計算：對于 n 階魔方矩陣（元素為 1 到 n2 的連續整數，即 “標準魔方矩陣”），其魔數固定為：
魔數 = n×(n2 + 1)÷2
例如：
- 3 階魔方矩陣的魔數為 3×(9 + 1)÷2 = 15；
- 4 階魔方矩陣的魔數為 4×(16 + 1)÷2 = 34。
元素特點：標準魔方矩陣的元素是 1 到 n2 的連續整數，且每個數只出現一次（即 “幻方” 的經典定義）；非標準魔方矩陣可以使用其他數字，但需滿足行、列、對角線和相等的條件。

常見階數的魔方矩陣示例

3 階魔方矩陣（最經典）

3 階魔方矩陣是最小的奇數階非平凡魔方矩陣，其元素為 1-9，每行、每列、對角線之和均為 15：

行：8+1+6=15，3+5+7=15，4+9+2=15；
列：8+3+4=15，1+5+9=15，6+7+2=15；
對角線：8+5+2=15，6+5+4=15。

4 階魔方矩陣（偶數階）

4 階魔方矩陣元素為 1-16，魔數為 34，例如：

魔方矩陣的分類

根據階數的奇偶性，魔方矩陣可分為兩類：

奇數階魔方矩陣（n 為奇數）：

可通過 “Siamese 方法”（斜步法）構造，核心是從矩陣底部中間位置開始，按特定方向（通常是右上）依次填入數字，遇到邊界或已填元素時調整位置。

偶數階魔方矩陣：

當 n 為4 的倍數（如 4、8 階）：可通過 “對稱交換法” 構造，將矩陣分為 4×4 子塊，交換特定位置的元素。

當 n 為2 的倍數但不是 4 的倍數（如 6、10 階）：構造更復雜，需結合奇數階的構造方法分段處理（稱為 “單偶數階”）。

魔方矩陣的應用與意義

數學研究：作為組合數學的經典問題，其構造方法涉及數論和對稱性分析。
歷史文化：古代被視為神秘符號，如中國的 “洛書”（3 階魔方矩陣）被認為是最早的魔方矩陣之一，記載于《周易》等典籍中。
計算機科學：常用于算法設計（如矩陣填充、回溯法練習）和密碼學中的隨機數生成參考。

（6）隨機矩陣

1. rand（）均勻隨機矩陣用于生成（0，1）區間上均勻分布的隨機變量，其基本語法如下：

rand（[M，N，P，...] ）

例：

A=rand（2，4） %生成隨機的2×4階矩陣

生成排列成M×N×P...多維向量的隨機數。如果只寫M，則生成M×M階矩陣；如果參數為[M,N],則可以省略到方括號。

2. randn（）高斯隨機矩陣用于生成服從標準正態分布（均值為0，方差為1）的隨機數，其基本語法和rand（）類似：

randn（[M,N,P...]）

生成排列成M×N×P...多維向量的隨機數。如果只寫M，則生成M×M階矩陣；如果參數為[M,N],可以省略掉方括號。

3. rand() 與 randn() 的核心對比

維度	rand()	randn()
分布類型	(0, 1) 區間均勻分布	標準正態分布（均值 0，方差 1）
語法共性	維度參數規則、括號省略邏輯完全一致	維度參數規則、括號省略邏輯完全一致
應用場景差異	需“無偏向隨機數”場景（如等概率模擬、均勻初始化）	需“自然波動規律”場景（如噪聲模擬、正態分布物理量建模）

4. 理解“生成排列成多維向量的隨機數”，需結合 Matlab 中數組的維度特性、函數參數規則來拆解，核心邏輯如下：

1. “多維向量”實為多維數組

在 Matlab 語境中，此處“向量”是廣義的數組概念（突破數學中“一維向量”的狹義定義）。Matlab 支持創建任意維度的數組（如二維矩陣、三維“行-列-頁”結構、四維及以上張量），因此“多維向量”本質是多維數組。

2. M，N，P...的作用：定義各維度的長度

rand()/randn()?的參數是維度尺寸參數，每個字母對應一個維度的“長度”：

第 1 個參數 ?→ 數組第 1 維的長度（如“行數”）；
第 2 個參數 ?→ 數組第 2 維的長度（如“列數”）；
第 3 個參數 ?→ 數組第 3 維的長度（如“頁數/層數”）；
更多參數 → 對應更高維度的長度。

3. “排列成M×N×P... ”：按維度參數構造數組結構

函數會先根據M，N，P...的數量和數值，確定數組的維度數量和各維度大小，再在這個預定義結構中填充隨機數。結合場景具象化理解：

（1）二維數組（矩陣）場景

若輸入 2 個參數 M，N（如 rand(2, 4)）：

維度數量：2 維（行、列）；
各維長度：第 1 維（行）長度 = M=2，第 2 維（列）長度 = N=4；
結果：生成 2 行 4 列的二維數組（矩陣），每個元素是 rand()?生成的 (0,1) 均勻隨機數，或 randn()?生成的標準正態分布數。

（2）三維數組場景

若輸入 3 個參數M，N，P（如 rand(2, 3, 2)）：

維度數量：3 維（行、列、頁）；
各維長度：第 1 維（行）=M=1 ，第 2 維（列）=N=3?，第 3 維（頁）=P=2?；
結果：生成 “2 行 × 3 列 × 2 頁”?的三維數組。可想象為“2 個獨立的 2 行 3 列矩陣疊在一起”，每個位置填充隨機數。

（3）更高維數組場景

若輸入 4 個參數M，N，P，Q（如 rand(1, 2, 3, 4)）：

維度數量：4 維；
各維長度：第 1 維 = M=1，第 2 維 =N=2?，第 3 維 = P=3，第 4 維 = Q=4；
結果：生成 1×2×3×4?的四維數組，結構由 4 個維度長度共同定義，每個元素位置填充隨機數。

**5. 在 Matlab 中，“擴展數組到更高維度”可通過生成新的高維數組或改造已有數組維度實現。結合rand()/randn()?的語法邏輯，以下是詳細方法拆解：**

對已有數組擴展維度（非隨機數組的維度改造）

若要對已存在的非隨機數組（如數值矩陣、向量）擴展維度，可通過以下通用方法：

1. 使用 cat() 函數“沿維度拼接”

cat(DIM, A, B, ...)?可沿指定維度 DIM?拼接多個數組，實現維度擴展。

示例：將兩個 2×3 矩陣沿第 3 維拼接，得到 2×3×2 三維數組：

A = ones(2, 3); ?% 2×3 全1矩陣

B = zeros(2, 3); % 2×3 全0矩陣

C = cat(3, A, B);% 沿第3維拼接，生成 2×3×2 三維數組

2. 使用 reshape() 函數“重塑維度”

reshape(A, M, N, P, ...)?可將數組 A?重塑為指定維度的新數組（要求元素總數匹配）。

示例：將 1×6 行向量重塑為 2×3 矩陣（二維），或 1×2×3 三維數組：

V = 1:6; ?????????????????% 1×6 行向量（元素總數6）

M2 = reshape(V, 2, 3); ???% 重塑為 2×3 矩陣（2×3=6，元素總數匹配）

M3 = reshape(V, 1, 2, 3); % 重塑為 1×2×3 三維數組（1×2×3=6，元素總數匹配）

3. 直接賦值“擴展維度”

對數組的新維度位置直接賦值，Matlab 會自動擴展維度并填充默認值（如 NaN?或 0，依場景而定）。

示例：將 2×3 矩陣擴展為 2×3×2 三維數組：

A = ones(2, 3); ?% 2×3 矩陣

A(:, :, 2) = 2; ?% 給第3維的第2層賦值，自動擴展維度為 2×3×2

4. 擴展數組維度的核心路徑

場景	核心方法	示例（代碼片段）
生成隨機高維數組	用 rand()/randn()?的多維度參數 [M, N, P, …]?定義維度大小	rand(2, 3, 2)?生成 2×3×2 均勻隨機三維數組
擴展已有數組維度	① cat()?沿指定維度拼接；② reshape()?重塑維度；③ 直接賦值新維度位置	cat(3, A, B)?沿第3維拼接數組；reshape(V, 1, 2, 3)?重塑維度