【ee類保研面試】數學類---線性代數

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文章目錄

線性代數知識點大全
- **1. 余子式與代數余子式**
- **2. 行列式的含義**
- **3. 矩陣的秩（Rank）**
- **5. 線性方程組解的情況 / 判斷是否有解的幾種方法**
- **6. 線性相關與線性無關**
- **7. 線性空間（向量空間）**
- **8. 向量空間的基與維數**
- **9. 特征值與特征向量**
- **11. 什么是向量正交？什么是矩陣正交？**
- **12. 正交矩陣**
- **13. 合同矩陣**
- **14. 正定矩陣與半正定矩陣**
- **15. 相似與對角化**
面試出現過的真題
- - 【北航】矩陣的范數：
  - 【北航】線性無關是什么：
  - 【北航】矩陣的行列式：
  - 【北航】矩陣的跡（Trace）：
  - 【ALL】矩陣的秩（Rank）是什么，有什么物理意義：
  - 【北航】Ax = b 有解的條件：
  - 【北航】【復旦】矩陣的特征值是什么，有什么物理意義，應用：
  - 【自動化所】【北航】線性空間（向量空間）：
  - 【軟件所】轉置矩陣的幾何意義：
  - 【北航】正交矩陣：
  - 【北航】矩陣求逆的方法：
  - 【北航】什么時候 AB = BA：
  - 【自動化所】標準正交基，施密特變換：
  - 【東南】正定矩陣的判斷方法
常見面試題整理2（線性代數）
- - 1. 矩陣的秩的含義
  - - 📘 基本概念
    - 🔗 與向量組的關系
    - 📐 幾何意義
    - 🧮 與線性方程組的關系
    - 🔄 與線性變換的關系
  - 2. 線性相關的含義
  - - 📘 公式定義
    - 📐 幾何意義
  - 3. 行列式的含義
  - - 📘 基本概念
    - 📐 幾何意義（本質含義）
    - 🔄 與線性變換的關系
  - 4. 特征值與特征向量的關系
  - - 📘 概念說明
    - 🔢 重數關系

線性代數知識點大全

1. 余子式與代數余子式

余子式（minor）：
對于矩陣 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $a_{ij}$ ，去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后所得的子矩陣的行列式，記作：

$Mij=det(Aij)M_{ij} = \text{det}(A_{ij})$
代數余子式（cofactor）：

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

? 常用于行列式展開、求逆等運算。

2. 行列式的含義

函數性質：將 $\times n$ 方陣映射到實數。
幾何意義：表示該矩陣對應線性變換的體積縮放因子（絕對值）和方向（符號）。
代數意義：等于矩陣所有特征值的乘積。
行列式為 0：矩陣不可逆，向量線性相關。

? 面試常問：“行列式為什么可以判斷可逆性？”、“為什么是特征值乘積？”

3. 矩陣的秩（Rank）

一個矩陣非零行向量的最大數目，或者線性無關列/行的最大數目。
表示向量組張成空間的維度。
決定線性方程組是否有唯一解、有無窮解或無解。

? 常見考點：秩與解空間維度之間的關系。

5. 線性方程組解的情況 / 判斷是否有解的幾種方法

設增廣矩陣為 $(A ∣ b)$
有解的判定標準：

$rank(A)=rank(A∣b)\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$
解的分類：
- 若等于未知數個數 ? 唯一解
- 若小于未知數個數 ? 無窮多解
- 若不等 ? 無解

? 面試高頻提問！一定要牢記判定標準。

6. 線性相關與線性無關

向量組 ${v_1, ..., v_n\}$ 中存在線性關系：

$c1v1+?+cnvn=0c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n = 0$

若有非零解 ? 線性相關；否則 ? 線性無關。

? 常問：“如何判斷向量組線性無關？” 答：行列式不為零或秩等于向量個數。

7. 線性空間（向量空間）

向量空間是一個集合，滿足向量加法與數乘的封閉性等 8 條運算公理。
常見空間如： $Rn\mathbb{R}^n$ 、矩陣空間、函數空間等。

? 面試常問：“什么是向量空間？能舉一個非歐幾里得空間的例子嗎？”

8. 向量空間的基與維數

基（Basis）：一組線性無關且張滿空間的向量。
維數：該空間基的向量個數，記為 $dim?V\dim V$ 。

? 面試常問：“基一定唯一嗎？”（答：不是，基有無數組，但維數唯一）

9. 特征值與特征向量

對于矩陣 $A$ ，若存在非零向量 $v$ 和標量 $λ\lambda$ 使得：

$\lambda v$

則稱 $λ\lambda$ 為特征值， $v$ 為特征向量。
特征值 ? 解特征方程 $det?(A?λI)=0\det(A - \lambda I) = 0$

? 常考：“對稱矩陣的特征值性質？”（答：實對稱矩陣特征值一定實，且可正交對角化）

11. 什么是向量正交？什么是矩陣正交？

向量正交： $(α,β)=0(\alpha, \beta) = 0$ ，表示兩向量垂直。
矩陣正交： $A?A=AA?=IA^\top A = AA^\top = I$ ，表示列向量兩兩正交且為單位向量。

12. 正交矩陣

滿足： $A?A=IA^\top A = I$
特點：
- 行列互為正交單位組
- 可逆，且 $A?1=A?A^{-1} = A^\top$
- 保長、保角（用于旋轉/反射等變換）

? 面試常問：“正交矩陣乘向量會改變模長嗎？”（答：不會）

13. 合同矩陣

若存在可逆矩陣 $P$ ，使得 $P^\top A P$ ，稱 $A$ 與 $B$ 合同。
合同矩陣之間保持慣性指數（正負零特征值個數）不變。

? 常考于二次型化簡與慣性定理。

14. 正定矩陣與半正定矩陣

正定矩陣：
- 對稱矩陣 $A$ ，若任意非零向量 $x$ 都滿足：
  
  $x?Ax>0x^\top A x > 0$
半正定矩陣：滿足 $x?Ax≥0x^\top A x \geq 0$

? 常問：“判斷正定性的方法？”

所有特征值為正 ? 正定
所有主子式 > 0 ? 正定

15. 相似與對角化

相似（similarity）：若存在可逆矩陣 $P$ 使得：

$A = PBP^{-1}$

則 $\sim B$ ，相似矩陣有相同特征值
可對角化條件：
- 存在一組線性無關特征向量
- 亦即：矩陣有 $n$ 個線性無關特征向量 ? 可對角化

? 面試常問：“是否所有矩陣都可對角化？”（答：不是，比如有缺失特征向量的重根情形）

面試出現過的真題

【北航】矩陣的范數：

引入范數的目的是為了度量矩陣的“大小”或“長度”。
滿足性質：
1. 正定性：||A|| = 0 當且僅當 A 是零矩陣；
2. 齊次性：||λA|| = |λ|·||A||；
3. 三角不等式：||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||；
4. 乘積次乘性：||AB|| ≤ ||A||·||B||（對某些范數成立）。

【北航】線性無關是什么：

一組向量線性無關 ? 沒有一個可以被其他向量線性表示。
只有當所有系數為 0 時，線性組合為零向量。
幾何理解：張成的幾何體（如平行四邊形、六面體、超幾何體）體積不為 0。
線性組合中，每個項為一次項，不含常數和向量乘向量。

【北航】矩陣的行列式：

行列式幾何意義：廣義平行四邊形的體積。
行列式為 0 ? 映射使線性無關向量變成線性相關，信息丟失 ? 不可逆。
行列式 ≠ 0 ? 可逆。

【北航】矩陣的跡（Trace）：

定義：主對角線元素之和。
線性算子的“壓縮值”。

【ALL】矩陣的秩（Rank）是什么，有什么物理意義：

定義：矩陣中線性無關行/列向量的最大數目。
方法：找出最大的非零子式（子矩陣行列式 ≠ 0）。
物理意義：線性變換后，至少保留的維度數量；保住了“多少個面”。
性質：
- rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
- r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)
- 矩陣滿秩 ? 可逆

【北航】Ax = b 有解的條件：

條件：rank(A) = rank(A|b)
幾種情況：
1. rank = n ? 唯一解；
2. rank < n ? 無窮解；
3. rank(A) ≠ rank(A|b) ? 無解。
幾何解釋：b 是否在 A 的列空間中。
Ax = 0 若列滿秩 ? 僅有零解。

【北航】【復旦】矩陣的特征值是什么，有什么物理意義，應用：

定義：Ax = λx，λ 為特征值，x 為特征向量。
求法：|λI - A| = 0 ? 特征多項式，求解其根。
幾何理解：變換后方向不變的向量。
物理意義：算子的“投影不變方向”
所有特征向量正交 ? 可對角化
應用：主成分分析（PCA）、系統穩定性分析等

【自動化所】【北航】線性空間（向量空間）：

定義：非空集合 V 對加法和數乘封閉，滿足八條運算公理：
1. 加法交換律
2. 加法結合律
3. 存在加法單位元（零向量）
4. 存在加法逆元
5. 數乘結合律
6. 數乘與加法分配律（兩種）
7. 數乘的 1 元素
m 維線性空間：存在 m 個線性無關向量作為一組基

【軟件所】轉置矩陣的幾何意義：

將行變為列、列變為行；
幾何上類似于圖像繞主對角線翻轉（如 45° 對稱軸）。

【北航】正交矩陣：

定義：A?A = I，列（或行）向量正交且為單位向量。
特性：|A| = ±1，A?1 = A?。
幾何意義：旋轉或反射，不改變向量長度和夾角。
可視為一種“換基”方式。

【北航】矩陣求逆的方法：

方法：
1. 初等行變換法（構造增廣矩陣 [A | I]）
2. 伴隨矩陣法
3. 待定系數法（小矩陣常用）

【北航】什么時候 AB = BA：

A 與 B 可同時對角化 ? 存在同一個可逆 P，使得 P?1AP 和 P?1BP 都是對角矩陣。
特殊情況：A = B
一般矩陣乘法不滿足交換律，只有部分可交換。

【自動化所】標準正交基，施密特變換：

標準正交基：兩量正交的向量，且長度為單位1
施密特變換：求標準正交基的方法。

【東南】正定矩陣的判斷方法

①若A正定，則A的各階順序主子式均大于0；
②A的所有特征值均大于0。

未完待續

常見面試題整理2（線性代數）

1. 矩陣的秩的含義

📘 基本概念

矩陣的秩：矩陣中不為零的子式的最大階數。
對于行階梯型矩陣，秩等于其非零行的數量。

🔗 與向量組的關系

矩陣的秩 = 列向量組的秩 = 行向量組的秩。
向量組的秩：其極大線性無關組所含向量的個數。

📐 幾何意義

矩陣的行空間、列空間的維數 = 秩。
表示該矩陣能在幾何上張成的“空間維度”。

🧮 與線性方程組的關系

若 $A$ 為 $\times n$ 矩陣，秩為 $r < n$ ，
- 齊次方程 $A x = 0$ 有 $n ? r$ 個基礎解向量（自由變量個數）。

🔄 與線性變換的關系

秩 = 保持非零體積的最大維度。
例：一個秩為2的 $\times 3$ 矩陣會將三維體壓縮為二維面。

2. 線性相關的含義

📘 公式定義

向量組 $α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 線性相關 ? 存在不全為零的 $k_i$ 使得

$k1α1+k2α2+?+kmαm=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$
否則，稱線性無關。