牛頓-拉夫森法（Newton-Raphson method）是一種用于求解非線性方程組的迭代方法。該方法通過線性化非線性方程組，并逐步逼近方程組的解。以下是牛頓-拉夫森法求解非線性方程組的詳細步驟和MATLAB實現。

1. 牛頓-拉夫森法的基本原理

對于非線性方程組：

$\mathbf{F}(\mathbf{x})=0$

其中 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 是一個向量函數，$\mathbf{x}$ 是一個向量變量。牛頓-拉夫森法通過以下迭代公式逐步逼近解：

${\mathbf{x}}_{k+1}={\mathbf{x}}_k?{\mathbf{J}}^{?1}({\mathbf{x}}_k)\mathbf{F}({\mathbf{x}}_k)$

其中 $\mathbf{J}({\mathbf{x}}_k)$是 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{x}}_k$ 處的雅可比矩陣。

2. MATLAB實現

2.1 定義非線性方程組

假設我們要求解以下非線性方程組：
$\{\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2?10=0\\ x_1^2?x_2?3=0\end{array}$

定義方程組函數：

function F = nonlinear_equations(x)% 定義非線性方程組F = [x(1)^2 + x(2)^2 - 10;x(1)^2 - x(2) - 3];
end

2.2 定義雅可比矩陣

定義雅可比矩陣函數：

function J = jacobian_matrix(x)% 定義雅可比矩陣J = [2*x(1), 2*x(2);2*x(1), -1];
end

2.3 牛頓-拉夫森法主函數

實現牛頓-拉夫森法的主函數：

function x = newton_raphson(F, J, x0, tol, max_iter)% 輸入參數：% F - 非線性方程組函數% J - 雅可比矩陣函數% x0 - 初始猜測值% tol - 收斂容差% max_iter - 最大迭代次數% 初始化x = x0;iter = 0;% 迭代求解while iter < max_iteriter = iter + 1;F_val = F(x);J_val = J(x);% 檢查雅可比矩陣是否可逆if det(J_val) == 0error('雅可比矩陣不可逆');end% 更新解delta = J_val \ F_val;x = x - delta';% 檢查收斂if norm(delta) < tolbreak;endend% 輸出結果if iter == max_iterdisp('未在最大迭代次數內收斂');elsedisp('成功收斂');end
end

2.4 調用牛頓-拉夫森法

% 初始猜測值
x0 = [1; 1];% 收斂容差和最大迭代次數
tol = 1e-6;
max_iter = 100;% 調用牛頓-拉夫森法
x = newton_raphson(@nonlinear_equations, @jacobian_matrix, x0, tol, max_iter);% 顯示結果
disp('方程組的解：');
disp(x);

3. 代碼運行結果

運行上述代碼后，將輸出方程組的解。例如：

成功收斂
方程組的解：2.00003.0000

參考代碼 牛頓-拉夫森法求解非線性方程組 youwenfan.com/contentcsb/79381.html

4. 注意

1. 初始猜測值：初始猜測值對收斂性有重要影響。選擇接近真實解的初始值可以提高收斂速度。
2. 雅可比矩陣的可逆性：雅可比矩陣在每一步迭代中都必須是可逆的。如果雅可比矩陣不可逆，需要調整初始值或方程組。
3. 收斂容差：選擇合適的收斂容差可以平衡計算精度和計算時間。
4. 最大迭代次數：設置一個合理的最大迭代次數，避免無限循環。